Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

A soma dos MÓDULOS dos autovalores da matriz

- 4 1 - 3 0 2 0 6 1 5

é:

(a) 5

(b) 6

(c) 7

(d) 8

Passo 1

Para encontrar os autovalores de uma matriz, precisamos encontrar as raízes do polinômio característico:

p λ = d e t ⁡ ( A - λ I )

onde A vai ser a matriz dada no enunciado.

Passo 2

Vamos determinar primeiro quem é a matriz A - λ I .

A - λ I = - 4 1 - 3 0 2 0 6 1 5 - λ 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Agora podemos calcular o determinante dessa matriz igualar a zero:

- 4 - λ 2 - λ 5 - λ + 18 2 - λ = 0

Colocando o termo 2 - λ em evidência:

2 - λ [ - 4 - λ 5 - λ + 18 ] = 0

Daí temos:

2 - λ = 0 ⇒ λ = 2

ou:

- 4 - λ 5 - λ + 18 = 0

- 20 + 4 λ - 5 λ + λ 2 + 18 = 0

λ 2 - λ - 2 = 0  

λ = 1 ± ( - 1 ) 2 - 4 ( 1 ) ( - 2 ) 2

Daí tiramos que:

λ = 2

ou

λ = - 1

Passo 3

Encontramos os autovalores:

λ = 2

λ = 2

λ = - 1

Somando os módulos deles:

2 + 2 + 1 = 5

E a resposta está na letra (a).

Resposta

(a) 5

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