Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 316. – 7

Quais são os autovalores e autovetores próprios da matriz identidade?

Passo 1

Bom, podemos tanto calcular quanto raciocinar um pouquinho haha. O que a matriz identidade faz? Ela pega todos os vetores do R n e leva neles mesmos certo? Então o autovalor dela é o 1 certo? Além disso, como ela funciona para qualquer vetor, seus autovetores são todos os vetores do seu domínio com exceção do vetor nulo, pois já sabemos que ele nunca será um autovetor!

Entendeu? Se não ficou muito claro você pode sempre calcular! Vamos ver como fica?

Seja A matriz identidade n × n . Fazemos det ⁡ ( A - λ I ) = 0 :

1 - λ 0 ⋯ 0 0 0 1 - λ ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 - λ 0 0 0 ⋯ 0 1 - λ = 0

1 - λ n = 0

Logo, como esperado o único autovalor dessa matriz é λ = 1 .

Agora para acharmos os autovetores resolvemos o sistema homogêneo A - I v → = 0 → :

0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 x 1 x 2 ⋮ x n - 1 x n = 0 0 ⋮ 0 0

Opa, perceba que obtivemos uma matriz nula! Naturalmente, todo vetor multiplicado por ela será levado no zero, então qualquer vetor do R n é autovetor do autovalor 1 . Com exceção, é claro, do vetor nulo, pois ele nunca será um autovetor ;)

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Resposta

Autovalor λ = 1 e como autovetores temos todos os vetores do espaço com exceção do vetor nulo.

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