Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

A matriz A é simétrica com autovalores 3 , 3 e - 1 . Sabemos que 1 ,   1 ,   1 e 2 ,   - 1 ,   0 são autovetores de A .

(a) Determine os autoespaços de A

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Essa parece muito confusa? Já adianto que a ideia por trás não é muito complicada 🙏

Foi dada algumas informações para a gente, como os autovalores e dois autovetores, além de uma informação crucial: A matriz A é simétrica!

Você sabe o que é uma matriz simétrica?

Uma matriz simétrica é definida quando a matriz é igual a sua matriz transposta, ou seja

A = A T

Pela matriz ser simétrica, existe uma propriedade muito bacana que diz que o produto interno de autovetores associados a diferentes autovalores é igual a zero, ou seja, são ortogonais.

O autoespaço de uma matriz, nada mais é que o subespaço formado pelos autovetores da matriz.

Com esse apanhado, podemos começar nossa questãozinha!

Passo 2

Como dito anteriormente, os autovetores associados a diferentes autovalores de uma matriz simétrica são ortogonais e possuem o produto interno igual a zero.

O enunciado nos deu 3 autovalores, sendo 2 valores diferentes: 3 e - 1 , vamos verificar se os 2 autovetores são ortogonais.

v 1 · v 2 = 1 ,   1 ,   1 · 2 ,   - 1 ,   0

v 1 · v 2 = 1 · 2 + 1 · - 1 + 1 · 0

v 1 · v 2 = 1

Como o produto interno entre eles é diferente de 0 , esses dois vetores não são ortogonais, logo, estão associados ao mesmo autovalor.

Mas os autovetores dados estão associados ao autovalor 3 ou ao autovalor - 1 ?

Bem, o autovalor 3 aparece duas vezes no enunciado, portanto, os autovetores dados só podem ser associados ao autovalor 3.

Mas como vamos determinar o autovetor associado ao autovalor - 1 ?

Passo 3

Se o produto interno de autovetores associados a diferentes autovalores é igual a zero, o autovetor associado ao autovalor - 1 deve ser ortogonal a v 1 e v 2

Determinando um vetor v 3 = x , y , z como o autovetor de λ = - 1 e calculando como ortogonal a v 1 e v 2 , temos para v 1

v 1 · v 3 = 0

1 ,   1 ,   1 · x , y , z = 0

x + y + z = 0

Para v 2

v 2 · v 3 = 0

2 ,   - 1 ,   0 · x , y , z = 0

2 x - y = 0

Montando o sistema, temos

x + y + z = 0 2 x - y = 0

Pela segunda equação, temos que

y = 2 x

Substituindo essa informação na primeira equação, temos

x + 2 x + z = 0

z = - 3 x

Ou seja, temos x = x , y = 2 x e z = - 3 x , escrevendo isso em um sistema, temos

x = x y = 2 x z = - 3 x ou x y z = v 3 = x 1 2 - 3

Substituindo x → 1 , nosso autovetor que faltava será

v 3 = 1,2 , - 3

Passo 4

Por fim, como dito anteriormente, o autoespaço de uma matriz é um subespaço formado pelos autovetores da matriz, ou seja, o autoespaço da matriz A é formado pelos vetores

1 ,   1 ,   1 2 ,   - 1 ,   0 1,2 , - 3

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Autoespaço: 1 ,   1 ,   1 2 ,   - 1 ,   0 1,2 , - 3

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