Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

Seja A uma matriz 3 × 3 tal que A 1   2   3 T = 1   2   3 T e A 3   2   1 T = 3   2   1 T . Assinale a única afirmativa INCORRETA:

a) Pode-se afirmar que A 11   10   9 T = 11   10   9 T

b) Pode-se afirmar que A 4   4   4 T = 4   4   4 T

c) Pode-se afirmar que A 3   6   9 T = 3   6   9 T

d) Pode-se afirmar que A 6   4   1 T = 6   4   1 T

e) Não sei.

Passo 1

Cara, primeiro de tudo, vamos prestar atenção nas informações do enunciado, ele dá essas duas equações pra gente:

A . 1 2 3 = 1 2 3 e A . 3 2 1 = 3 2 1

Vamos pensar um negócio: A é uma matriz, e qualquer produto matriz X vetor é linear não é?

O que a gente tem aí em cima são situações de autovetores com autovalores iguais a 1.

Qualquer autovetor desse plano então, deve ter autovalor igual a 1.

Somando as duas equações do enunciado e trocando seus coeficientes, o que temos é:

a . 1 ,   2 ,   3 + b . 3 ,   2 ,   1 = 1 ,   2 ,   3 + 3 ,   2 ,   1 = ( 4 ,   4 ,   4 )

Beleza, nesse caso deu ( 4 ,   4 ,   4 ) , mas como dissemos, a operação é linear, então, para qualquer vetor ( x ,   y ,   z ) desse plano, deve existir um a e um b que satisfaçam:

a . 1 ,   2 ,   3 + b . 3 ,   2 ,   1 = x ,   y ,   z

Vamos testar para cada alternativa beleza?

Passo 2

a) Aqui temos:

a . 1 ,   2 ,   3 + b . 3 ,   2 ,   1 = 11 ,   10 ,   9

Vamos verificar se o vetor ( 11 ,   10 ,   9 ) realmente faz parte do plano com autovalor 1.

Temos o sistema:

a + 3 b = 11 2 a + 2 b = 10 3 a + b = 9

Resolvendo esse sistema, encontramos a = 2 e b = 3 . Substituindo na equação, temos

2 . 1 ,   2 ,   3 + 3 . 3 ,   2 ,   1 = 11 ,   10 ,   9

11 ,   10 ,   9 = ( 11 ,   10 ,   9 )

Ou seja, o sistema é possível e existe a e b que satisfazem nossa equação. Logo, ( 11 ,   10 ,   9 ) realmente tem autovalor 1 e portanto cumpre que A 11   10   9 T = 11   10   9 T .

Passo 3

b) Aqui temos:

a . 1 ,   2 ,   3 + b . 3 ,   2 ,   1 = 4 ,   4 ,   4

Vamos verificar se o vetor ( 4 ,   4 ,   4 ) realmente faz parte do plano com autovalor 1.

Temos o sistema:

a + 3 b = 4 2 a + 2 b = 4 3 a + b = 4

Resolvendo esse sistema, encontramos a = 1 e b = 1 . Substituindo na equação, temos

1 . 1 ,   2 ,   3 + 1 . 3 ,   2 ,   1 = 4 ,   4 ,   4

4 ,   4 ,   4 = ( 4 ,   4 ,   4 )

Ou seja, o sistema é possível e existe a e b que satisfazem nossa equação. Logo, ( 4 ,   4 ,   4 ) realmente tem autovalor 1 e portanto cumpre que A 4   4   4 T = 4   4   4 T .

Passo 4

c) Aqui temos:

a . 1 ,   2 ,   3 + b . 3 ,   2 ,   1 = 3 ,   6 ,   9

Vamos verificar se o vetor ( 3 ,   6 ,   9 ) realmente faz parte do plano com autovalor 1.

Temos o sistema:

a + 3 b = 3 2 a + 2 b = 6 3 a + b = 9

Resolvendo esse sistema, encontramos a = 3 e b = 0 . Substituindo na equação:

3 . 1 ,   2 ,   3 + 0 . 3 ,   2 ,   1 = 3 ,   6 ,   9

3 ,   6 ,   9 = ( 3 ,   6 ,   9 )

Ou seja, o sistema é possível e existe a e b que satisfazem nossa equação. Logo, ( 3 ,   6 ,   9 ) realmente tem autovalor 1 e portanto cumpre que A 3   6   9 T = 3   6   9 T .

Passo 5

d) Aqui temos:

a . 1 ,   2 ,   3 + b . 3 ,   2 ,   1 = 6 ,   4 ,   1

Vamos verificar se o vetor ( 6 ,   4 ,   1 ) realmente faz parte do plano com autovalor 1.

Temos o sistema:

a + 3 b = 6 2 a + 2 b = 4 3 a + b = 1

O sistema acima não possui solução!! Ou seja, não existe a e b que satisfazem nossa equação. Logo, ( 6 ,   4 ,   1 ) não tem autovalor 1 e portanto não cumpre que A 6   4   1 T = 6   4   1 T .

Entãoo, a alternativa errada é a letra D!!

Resposta

d) Pode-se afirmar que A 6   4   1 T = 6   4   1 T

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