Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

Seja

A = - 2 1 - 1 0 5 2 0 0 - 1

O vetor - 2 ,   α ,   β é um autovetor associado ao autovalor 5 .

O valor de α + β é:

( a ) - 8

( b ) - 14

( c ) - 12

( d ) - 10

Passo 1

Queremos descobrir quem é o autovetor associado ao autovalor 5 .

Para encontrar o autoespaço, é só você resolver o sistema homogêneo A - 5 I v → = 0 → :

- 2 - 5 1 - 1 0 5 - 5 2 0 0 - 1 - 5   v → = 0 →

Escrevendo em forma de matriz aumentada:

- 7 1 - 1 0 0 0 2 0 0 0 - 6 0

Da segunda e da terceira linha tiramos z = 0 .

Da primeira, - 7 x + y - z = 0 → 7 x = y → x = y 7 .

Usando y = t como parâmetro, o nosso autoespaço associado é:

t 7 ,   t ,   0

Passo 2

Agora é só a gente achar os valores que ele pediu!

t 7 ,   t ,   0 = - 2 ,   α ,   β

Assim:

t 7 = - 2 → t = - 14

α = t → α = - 14

β = 0

Queremos α + β , logo:

α + β = - 14 + 0 = - 14

Resposta

Letra ( b )

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