Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

Calcule os autovalores e os autoespaços associados de:

a   A = 3 0 0 0 3 2 0 - 1 0

b   A = 0 1 0 0

c   A = 2 - 1 0 0 1 - 1 0 1 3

Passo 1

a   Para encontrar os autovalores, é só você fazer det ⁡ ( A - λ I ) = 0 :

3 - λ 0 0 0 3 - λ 2 0 - 1 - λ = 0

det ⁡ A - λ I = 3 - λ   3 - λ 2 - 1 - λ = 0

3 - λ 3 - λ - λ + 2 = 0

3 - λ λ 2 - 3 λ + 2 = 0

Pelo polinômio característico já sabemos λ = 3 é um autovalor.

Para saber os outros 2 , basta calcular:

λ 2 - 3 λ + 2 = 0

Fatorando por soma e produto:

λ - 1 λ - 2 = 0

Os outros autovalores são λ = 1 e λ = 2 .

Passo 2

Agora temos que calcular os autoespaços associados a cada um dos autovalores.

Vamos calcular o do λ = 1 .

Resolvendo o sistema homogêneo A - I v → = 0 → :

3 - 1 0 0 0 3 - 1 2 0 - 1 - 1 x y z = 0 0 0

2 0 0 0 2 2 0 - 1 - 1 x y z = 0 0 0

Agora é só escalonar a matriz aumentada:

2 0 0 0 2 2 0 - 1 - 1 0 0 0 → L 3 ← L 3 + L 2 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0

Seja z = t , substituindo nas equações:

x = 0

2 y + 2 z = 0 → y = - z → y = - t

A solução então é:

x y z = 0 - t t

0 ,   - 1 ,   1

Esse é o autoespaço associado ao autovalor!

Passo 3

Para λ = 2 :

3 - 2 0 0 0 3 - 2 2 0 - 1 - 2 x y z = 0 0 0

1 0 0 0 1 2 0 - 1 - 2 x y z = 0 0 0

Escalonando a matriz aumentada ( L 3 ← L 2 + L 3 ):

1 0 0 0 1 2 0 - 1 - 2 0 0 0 → L 3 ← L 3 + L 2 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0

Seja t = z .

Substituindo nas equações:

y + 2 z = 0 → y = - 2 z → y = - 2 t

x = 0

A solução fica:

x y z = 0 - 2 t t

N u c A - 2 I = 0 ,   - 2 ,   1

Esse é o autoespaço associado a λ = 2 ! =D

Passo 4

Para λ = 3 :

3 - 3 0 0 0 3 - 3 2 0 - 1 - 3 x y z = 0 0 0

0 0 0 0 0 2 0 - 1 - 3 x y z = 0 0 0

Se eu mudar a ordem das linhas da matriz aumentada, ela já fica em sua forma escalonada:

0 0 0 0 - 1 - 3 0 0 2 0 0 0

Fazemos então x = t .

Aí é só substituir:

2 z = 0 ⇒ z = 0

- y - 3 z = 0 ⇒ y = - 3 z = - 3 × 0 = 0

Substituindo:

t 0 0

Então

N u c A - 3 I = 1 0 0

Esse é o autoespaço associado a autovalor 3 .

Passo 5

b   Novamente, fazemos det ⁡ ( A - λ I ) = 0 :

- λ 1 0 - λ = 0

- λ ∙ - λ = 0 ⇒ λ = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema homogêneo A - I v → = 0 → :

- 0 1 0 - 0 x y = 0 0

Pela matriz aumentada:

0 1 0 0 0 0

Fazemos x = t . Fica então:

x = t

y = 0

A solução é o autoespaço que possui vetores da forma:

t 0

Então o autoespaço associado ao autovalor 0 é:

1,0

Passo 7

c   Fazemos det ⁡ ( A - λ I ) = 0 :

2 - λ - 1 0 0 1 - λ - 1 0 1 3 - λ = 0

2 - λ ∙ 1 - λ - 1 1 3 - λ = 0

2 - λ 1 - λ 3 - λ + 1 = 0

2 - λ λ 2 - 4 λ + 4 = 0

Daí já vemos que λ = 2 é um autovalor. Para obtermos os outros, basta resolvermos:

λ 2 - 4 λ + 4 = 0

Δ = 16 - 4 ∙ 1 ∙ 4 = 0

λ = 4 ± 0 2 = 2

Então temos apenas o autovalor 2 . Bom pra gente, menos conta haha.

Passo 8

Resolvemos o sistema homogêneo A - I v → = 0 → :

2 - 2 - 1 0 0 1 - 2 - 1 0 1 3 - 2 x y z = 0 0 0

0 - 1 0 0 - 1 - 1 0 1 1 x y z = 0 0 0

Escalonando a matriz aumentada:

0 - 1 0 0 - 1 - 1 0 1 1 0 0 0 → L 3 ← L 3 + L 2 0 - 1 0 0 - 1 - 1 0 0 0 0 0 0

Fazer x = t . Chegamos ao sistema:

x = t - y = 0 ⇒ y = 0 - y - z = 0 ⇒ z = 0

A solução então é:

x y z = t 0 0

1 ,   0,0

Esse é o autoespaço associado ao autovalor!

Resposta

a   Autovalor λ = 1 e autoespaço 0 ,   - 1 ,   1

Autovalor λ = 2 e autoespaço 0 ,   - 2 ,   1

Autovalor λ = 3 e autoespaço 1 ,   0 ,   0

b   Autovalor λ = 0 e autoespaço 1,0

c   Autovalor λ = 2 e autoespaço 1 ,   0,0

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