Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

Observe bem a matriz:

A = 1 0 1 0 0 2 0 0 3

e marque a alternativa VERDADEIRA:

a   O núcleo de A tem dimensão 2

b   A imagem de A tem dimensão 2

c   A possui dois autovalores iguais

d   A é invertível

Passo 1

Vamos afirmativa por afirmativa:

a Calculando o núcleo de A :

1 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 0

x + z = 0 ⇒ x = 0 2 z = 0 ⇒ z = 0 3 z = 0 ⇒ z = 0

Logo, nosso núcleo é assim:

0 , y , 0 = y 0,1 , 0

Ou seja, ele tem dimensão 1 e não 2 .

Passo 2

b A imagem é o espaço gerado pelas colunas, ou seja, o número de colunas L I que temos. E está claro que temos duas colunas L I , logo nossa imagem tem dimensão 2 . Essa é a certa.

Passo 3

c Como essa matriz é triangular, os autovalores são os próprios elementos da diagonal principal:

λ = 1   o u   0   o u   3

Então não podemos ter 2 autovalores iguais.

Passo 4

Sabemos que uma matriz só é invertível se, além de ser quadrada, tiver linhas e colunas L I . Essa tem uma coluna só de zeros, então obviamente não é invertível.

Resposta

Letra ( b )

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