Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

Seja A = 3 0 0 - 3 4 9 0 0 3 .

(b) Determine bases para os autoespaços correspondentes a cada autovalor.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

No item a) dessa questão, vimos que os autovalores associados à matriz A , são λ 1 = 3 e λ 2 = 4 . A questão nos pediu para calcular a base para os autoespaço que corresponde a cada autovalor, ou seja, vamos usar a fórmula A - I λ B = 0 → onde B será nossa base.

Temos

A - I λ = 3 - λ 0 0 - 3 4 - λ 9 0 0 3 - λ

B = x y z

0 → = 0 0 0

Após calcular B vamos substituir os valores de suas coordenadas pelas bases canônicas de R 3 , assim vamos encontrar os vetores bases que procuramos.

Tá confuso? não se preocupe, no final vai tudo fazer sentido!

Passo 2

Primeiro vamos calcular a base para o autovalor λ 1 = 3 , onde

A - I λ B = 0 →

3 - 3 0 0 - 3 4 - 3 9 0 0 3 - 3 x y z = 0 0 0

0 0 0 - 3 1 9 0 0 0 x y z = 0 0 0

0 x + 0 y + 0 z - 3 x + 1 y + 9 z 0 x + 0 y + 0 z = 0 0 0

Escrevendo em sistema de equações, temos

x = x - 3 x + y + 9 z = 0 z = z → x = x y = 3 x - 9 z z = z

Vemos que as três equações dependem de x e z , portanto substituindo os valores dos vetores canônicos 1,0 , 0 e 0,0 , 1

Para o vetor 1,0 , 0 nossas coordenadas de B são

B 1 = x = 1 y = 3 ( 1 ) - 9 0 z = 0 → B 1 = x = 1 y = 3 z = 0

Nossa primeira base é

B 1 = 1,3 , 0

Para o vetor 0 , 0 , 1 nossas coordenadas de B são

B 2 = x = 0 y = 3 ( 0 ) - 9 1 z = 1 → B 2 = x = 0 y = 9 z = 1

Nossa segunda base é

B 2 = 0,9 , 1

Portanto, as bases associadas ao autoespaço do autovalor λ 1 = 3 , são

B 1 = 1,3 , 0 e B 2 = 0,9 , 1

Pegou a ideia? 😁

Passo 3

Fazendo o mesmo procedimento para o autovalor λ 2 = 4 , temos

A - I λ B = 0 →

3 - 4 0 0 - 3 4 - 4 9 0 0 3 - 4 x y z = 0 0 0

- 1 0 0 - 3 0 9 0 0 - 1 x y z = 0 0 0

- x + 0 y + 0 z - 3 x + 0 y + 9 z 0 x + 0 y - z = 0 0 0

Em sistema de equações, temos

- x = 0 - 3 x + 9 z = 0 - z = 0 → x = 0 y = y z = 3 x 9 z = 0

Com isso, encontramos o vetor B 3 = 0,1 , 0 , já que y está indefinido nas equações e x e z são 0 .

Nesta parte é muito fácil esquecer as coordenadas que não aparecem nas equações resultantes, como no nosso caso, o y , então todo cuidado é pouco.

Enfim encontramos as bases associadas aos autovalores de A .

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Para λ 1 = 3 : B 1 = 1,3 , 0 e B 2 = 0,9 , 1

Para λ 2 = 4 : B 3 = 0,1 , 0

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