Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

Ver Teoria

Enunciado

Seja fixado um sistema de coordenadas Σ   =   ( O ,   B ) no plano, com B

uma base ortonormal, e seja dado   k   ∈   R . Temos que a equação

5 x 2   +   6 x y   -   3 y 2   +   1 10 ( 44 x   -   12 y )   =   k

Representa uma hipérbole se, e somente se:

  1. k ≠ - 2
  2. k = 1
  3. k ≠ 0
  4. k = - 2
  5. k ≠ 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é bacana pois é sobre formas quadráticas!!!! Como de costume, vamos anotar as informações do enunciado.

Temos a quadrática:

5 x 2   +   6 x y   -   3 y 2   +   1 10 ( 44 x   -   12 y )   =   k

Queremos saber a condição de k , para que a equação acima representa uma hipérbole.

Passo 2

Mas como é uma equação da hipérbole mesmo? Vamos relembrar

u 2 a 2   -   v 2 b 2 =   1

Eita, essa equação não se parece nada com a que temos no enunciado, será que tem como deixarmos elas parecidas? O que vocês acham?

Bem, talvez possamos encontrar uma nova base em R 2   onde o termo 6 x y suma. Então vamos fazer isso.

Vamos começar reescrevendo a nossa quadrática de forma matricial. Então temos:

( x , y ) A ( x , y ) T   +   1 10 ( 44 , - 12 ) ( x , y ) T = k

Onde A é:

Passo 3

Nossa matriz A é simétrica e tem entradas reais, logo ela é diagonalizável, isto é pode ser escrita da forma

A   =   P D P - 1

Então

P - 1 A P   =   D

Normalizando os autovetores, temos que:

P T A P   =   D

(pois os autovetores normalizados formam um operador ortogonal)

com D matriz diagonal onde suas entradas são os autovalores de A

e P matriz onde suas colunas são os autovetores associados aos autovalores de A

Tá, mas como usamos isso a nosso favor? Vamos fazer a seguinte mudança de base:

( x , y ) T   = P ( u , v ) T  

Mas antes disso, vamos obter os autovalores e autovetores de A

Como o foco desse exercício não é calcular os autovetores e autovalores de A , iremos apenas dizer quem são as matrizes D   e   P . Então temos que:

Passo 4

Como comentado no passo anterior, queremos fazer a seguinte transformação

( x , y ) T   = P ( u , v ) T  

Aplicando essa transformação, nossa quadrática fica da seguinte forma:

( u , v ) P T A P ( u , v ) T   +   1 10 ( 44 , - 12 ) P ( u , v ) T = k

Olha só, fazendo isso conseguimos desaparecer com o termo da forma 6 x y . Agora podemos desenvolver a expressão ainda mais!!!

Então temos:

( u , v ) D ( u , v ) T   +   1 10 * 1 10 ( 44 , - 12 ) ( 3 u - v ,   u + 3 v ) T = k

(calculando o produto interno e substituindo os valores de D)

6 u 2   -   4 v 2   +   1 10 ( 120 u - 80 v ) = k

então temos:

6 u 2   -   4 v 2   +   12 u - 8 v = k

Estamos quase lá, só falta completarmos quadrados!!!!

Passo 5

Vamos somar e subtrair os valores 6   e   4 da nossa equação. Então ela fica:

6 u 2   -   4 v 2   +   12 u - 8 v + 6   - 6   + 4   - 4 = k

Juntando os produtos notáveis temos:

6 ( u + 1 ) 2   -   4 ( v   +   1 ) 2 = k   + 2

Bem, o lado direito da nossa equação precisa ser não nulo. Logo

k ≠   2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Letra (a)

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar valores próprios do operador linear T : V → V do R 4 que é definido em uma base { e 1 ,..., e n } por T e i = λ i ∈ R .
Achar os valores e os vetores próprios do operador T do IR 2 dado por:T(x, y) = (x + y, x - y);
Calcular o polinômio característico e os valores próprios da matriz: 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 - 2 4
Seja 1 1 0 1 a matriz de um operador do R 2 . Ache os valores próprios de T . Existem, neste caso, dois vetores próprios linearmente independentes?
Provar que se λ é valor próprio de T, então λ n é valor próprio de T n . Generalizando, se p(t) é um polinômio então p ( λ ) é valor próprio de p(T), onde p T =a 0 1+ a 1 T+ . . .+a n T n se p ( t )=a