Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

A soma dos módulos dos autovalores da matriz - 5 - 4 0 8 7 0 1 - 1 2 é:

(a) 4

(b) 6

(c) 7

(d) 8

Passo 1

Vamos achar os autovalores dessa matriz calculando as raízes do polinômio característico:

P λ = det ⁡ A - λ I

P λ = - 5 - λ - 4 0 8 7 - λ 0 1 - 1 2 - λ = - 5 - λ 7 - λ 2 - λ + 32 ( 2 - λ )

P λ = 2 - λ - 35 + 5 λ - 7 λ + λ 2 + 32

P λ = ( 2 - λ ) ( λ 2 - 2 λ - 3 )

Passo 2

Vamos desenvolver isso calculando as raízes, sei olhando a primeira parte ( 2 - λ ) que λ = 2 zera o polinômio, ou seja, é raíz.

Agora, vamos ver o que zera a outra parte, λ 2 - 2 λ - 3 .

λ 2 - 2 λ - 3 = 0

λ = 2 ± - 2 2 + 4 ∙ 3 2 = 2 ± 16 2 = 2 ± 4 2

Assim, λ 2 = 3 e λ 3 = - 1 .

Somando os módulos, tenho 2 + 3 + 1 = 6

Resposta

(b)

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