Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

Considere as afirmativas abaixo:

I - Uma matriz A , 3 × 3 , sempre tem um autovetor.

I I - Uma matriz A , 4 × 4 , sempre tem um autovetor

(a) I é falsa e I I é verdadeira

(b) Ambas são falsas

(c) Ambas são verdadeiras

(d) I é verdadeira e I I é falsa

Passo 1

Bom, vamos pensar nos polinômios característicos, na matriz 3 × 3 , vou ter 3 raízes, ou seja, é um polinômio de grau 3.

As raízes complexas vem sempre em pares, logo, não é possível que todas as raízes sejam complexas, tenho pelo menos 1 raíz real. Assim, provo que toda matriz 3 × 3 vai ter um autovetor!

A primeira afirmativa é verdadeira!

Passo 2

Agora a outra afirmativa, uma matriz 4 × 4 vai ter seu polinômio característico com 4 raízes, um polinômio de grau 4.

Assim é possível que elas sejam todas complexas, não existindo, portanto, um autovalor real e consequentemente, não tendo um autovetor!!

Essa afirmativa I I é falsa!

Resposta

d

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