Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

Considere as seguintes afirmações:

I Os autovalores de uma matriz são os mesmos da sua forma escalonada.

I I Se λ ≠ 0 é autovalor de A , uma matriz invertível, então λ - 1 é autovalor de A - 1 com os mesmos autovetores de A .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

Passo 1

Afirmativa I :

Essa depende. Durante o escalonamento, é permitido que a gente divida ou multiplique linhas por escalares. Fazer isso altera o traço e o determinante da matriz que estão intimamente ligados aos autovalores! Então eles se alteram também.

Se fizermos o escalonamento apenas com operações do tipo L i ← L i + k L j , de fato, os autovalores não mudariam, mas como não podemos garantir isso essa é falsa.

Afirmativa I I :

Como vimos na teoria, esta é verdadeira! Não vale a pena provar aqui ;)

Resposta

Letra ( a )

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