Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

A dimensão do autoespaço de A associado ao autovalor 3 é:

(a) 0

(b) 1

(c) 2

(d) 3

Passo 1

Para achar o autoespaço associados a um autovalor λ , precisamos fazer:

A - λ I v = 0

Como foi dado λ = 3 :

A - 3 I v = 0

Fazendo essa conta com a matriz A dada e escrevendo na forma de uma matriz aumentada:

Se v = ( x , y , z ) , temos uma equação:

x + y + 2 z = 0

Isolando uma das variáveis, por exemplo o x:

x = - y - 2 z

Então os vetores v vão ser:

v = x , y , z = - y - 2 z , y , z = - y , y , 0 + - 2 z , 0 , z = y - 1,1 , 0 + z - 2,0 , 1

Como ( - 1,1 , 0 ) e ( - 2,0 , 1 ) são LI (um não é múltiplo do outro), então esses 2 vetores formam uma base para o autoespaço associado a λ = 3 .

Como há 2 vetores nessa base, a dimensão desse autoespaço é 2.

Resposta

(c) 2

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