Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

A matriz A = 0 1 0 - 2 3 0 0 0 2 tem dois autovalores distintos. Um deles é 2.

(I) O outro autovalor é -2.

(II) O conjunto gerado pelos autovetores associados ao autovalor 2 tem dimensão 1.

(a) Ambas as afirmações são falsas.

(b) Ambas as afirmações são verdadeiras.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

Passo 1

Vamos calcular os autovalores da matriz A.

Para isso temos que encontrar as raízes do polinômio característico

p λ = d e t ⁡ ( A - λ I )

p λ = d e t 0 1 0 - 2 3 0 0 0 2 - λ 1 0 0 0 1 0 0 0 1  

Calculando o determinante e igualando a zero:

- λ 3 - λ 2 - λ + 2 2 - λ = 0

2 - λ - λ 3 - λ + 2 = 0

Daí temos:

2 - λ = 0 ⇒   λ = 2

Ou:

- λ 3 - λ + 2 = 0

- 3 λ + λ 2 + 2 = 0 ⇒ λ 2 - 3 λ + 2 = 0

λ = 2

ou

λ = 1

Passo 2

Agora vamos calcular os autovetores associados a λ = 2 .

Para isso, aplicamos a definição de autovetor e autovalor:

A v → = λ v →

0 1 0 - 2 3 0 0 0 2 x y z = 2 x y z

Então ficamos com o sistema:

y = 2 x - 2 x + 3 y = 2 y 2 z = 2 z

Da primeira equação, tiramos que:

y = 2 x   ⇒ x = y 2

Então podemos reescrever nossos autovetores como:

v → = x , y , z = ( y 2 , y , z )

Separando as variáveis:

v → = y 2 , y , 0 + 0,0 , z

v → = y 1 2 , 1,0 + z ( 0,0 , 1 )

Isso significa que os autovetores são na verdade o espaço gerado pelos vetores 1 2 , 1,0 e ( 0,0 , 1 ) , isto é:

v → = < 1 2 , 1,0 , 0,0 , 1 >

Como esse conjunto tem 2 vetores LI, a dimensão dele é 2.

Passo 3

Agora podemos ver as alternativas.

(I) O outro autovalor é -2.

Isso é falso. O outro autovalor distinto de 2 é o 1.

(II) O conjunto gerado pelos autovetores associados ao autovalor 2 tem dimensão 1.

Essa alternativa também é falsa, pois acabamos de ver que esse conjunto tem dimensão 2.

Resposta

(a) Ambas as afirmações são falsas.

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