Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

Ver Teoria

Enunciado

A matriz A = 5 0 1 0 2 0 1 0 5 possui os autovalores 2 , 4 e 6 . Os autovetores de A associados ao seu maior autovalor são da forma:

a   t 1,0 , - 1 ,   t ≠ 0

b   t 2,0 , 2 ,   t ≠ 0

c   t 0,2 , 0 ,   t ≠ 0

d   t 0,1 , 0 ,   t ≠ 0

Passo 1

Ta, podemos aplicar todos os vetores das opções na matriz e ver qual retorna ele mesmo vezes 6 (que é o maior autovalor da matriz). Esse seria o modo mais rápido e o que eu recomendo que vocês façam na prova, mas como estamos praticando a teoria aqui vamos não cartear e fazer os cálculos bonitinhos haha.

Pra achar o autoespaço associado ao autovalor 6 temos que resolver:

5 - 6 0 1 0 2 - 6 0 1 0 5 - 6 0 0 0 → - 1 0 1 0 - 4 0 1 0 - 1 0 0 0 → L 3 ← L 3 + L 1 - 1 0 1 0 - 4 0 0 0 0 0 0 0

Então chegamos ao sistema:

- x + z = 0 ⇒ x = z - 4 y = 0 ⇒ y = 0

Beleza, então nosso autoespaço tem vetores dessa forma:

x , 0 , x = x 1,0 , 1 = t 2,0 , 2

Resposta

Letra ( b )

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar valores próprios do operador linear T : V → V do R 4 que é definido em uma base { e 1 ,..., e n } por T e i = λ i ∈ R .
Achar os valores e os vetores próprios do operador T do IR 2 dado por:T(x, y) = (x + y, x - y);
Calcular o polinômio característico e os valores próprios da matriz: 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 - 2 4
Seja 1 1 0 1 a matriz de um operador do R 2 . Ache os valores próprios de T . Existem, neste caso, dois vetores próprios linearmente independentes?
Provar que se λ é valor próprio de T, então λ n é valor próprio de T n . Generalizando, se p(t) é um polinômio então p ( λ ) é valor próprio de p(T), onde p T =a 0 1+ a 1 T+ . . .+a n T n se p ( t )=a