Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

Seja A = 1 0 1 0 1 0 - 2 0 4 . Os autovetores de A associados ao autovalor λ = 3 são da forma:

a   t 1,0 , 1 ,   t ≠ 0

b   t 1,0 , 2 ,   t ≠ 0

c   t 0,1 , 0 ,   t ≠ 0

d   t 1,1 , 0 ,   t ≠ 0

Passo 1

Bom, já sabemos que o autovalor é λ = 3 , então só precisamos achar os autovetores. Um dos possíveis jeitos é fazer:

A - λ I = 1 - λ 0 1 0 1 - λ 0 - 2 0 4 - λ ⇒

E tomar λ = 3 :

- 2 0 1 0 - 2 0 - 2 0 1

Passo 2

E agora basta fazer:

A - 3 I u = - 2 0 1 0 - 2 0 - 2 0 1 ⋅ x y z ⇒

- 2 x + z = 0 ⇒ z = 2 x - 2 y = 0 ⇒ y = 0 - 2 x + z = 0 ⇒

x , y , z = x , 0,2 x = x ( 1,0 , 2 )

Pelo que podemos ver, a letra ( b ) possui todos os múltiplos do vetor ( 1 , 0,2 ) , exceto o zero, pois não existe autovetor nulo. Logo, essa é a opção correta.

Resposta

Letra ( b )

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