Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

Seja A uma matriz quadrada. Assinale a alternativa VERDADEIRA:

( a ) Se os autovalores de A são diferentes de zero, então A é sobrejetiva.

( b ) Se os coeficientes de A são diferentes de zero, então os autovalores de A são diferentes de zero.

( c ) Se os coeficientes de A são diferentes de zero, então A é injetiva.

( d ) Se os autovalores de A são diferentes de zero, então os coeficientes de A são diferentes de zero.

Passo 1

Vou usar a hipótese da letra ( a ) . O que acontece se os autovalores são diferentes de zero?

Bom, os autovalores de uma matriz A são tais que:

det ⁡ ( A - λ I ) = 0

Se λ = 0 NÃO é autovalor, então:

det ⁡ A - 0 I ≠ 0

det ⁡ A ≠ 0

Isso significa que A é invertível, e por isso ela é bijetiva.

Em particular, ela é sobrejetiva.

Logo essa é verdadeira.

Passo 2

A hipótese da ( b ) é falsa. Por quê?

Como acabamos de ver, basta que det ⁡ A = 0 e já garantimos que 0 é um autovalor.

Mas para o determinante ser zero os coeficientes não precisam ser! Olha só:

A = 1 1 2 2

Essa matriz tem det ⁡ A = 0 , e portanto det ⁡ ( A - 0 I ) = 0 , então λ = 0 é autovalor de A .

Mas seus coeficientes são todos diferentes de 0 !

Essa é falsa então.

Passo 3

A ( c ) é igual à ( b ) .

A matriz A = 1 1 2 2 tem todos os coeficientes diferentes de zero, mas det ⁡ A = 0 e portanto ela não admite inversa.

Logo ela não pode ser injetiva.

Passo 4

d   Se os autovalores de A são diferentes de 0 , então det ⁡ A ≠ 0 , como já vimos.

Acontece que os coeficientes podem ser zero sim!

Olha só:

2 0 3 1

Os autovalores dessa matriz são 2 e 1 (pois seu polinômio característico é ( 2 - λ ) ( 1 - λ ) .

Mas um de seus coeficientes é zero!

Resposta

Letra ( a )

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