Exercícios Resolvidos de Calculando Autovalores e Autovetores

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Enunciado

Seja v → = 1 , α um autovetor da matriz A = 0 1 1 1 associado ao maior dos autovalores de A . Então α vale:

a   1 - 5 2

b   1 + 5 2

c   5 - 1 2

d   1 + 5 2

Passo 1

Vamos achar os autovalores:

det ⁡ 0 - λ 1 1 1 - λ = - λ 1 - λ - 1 = 0

λ 2 - λ - 1 = 0

Δ = - 1 2 + 4 = 5

λ = 1 ± 5 2

O maior autovalor é:

λ = 1 + 5 2

Então é ele que estamos buscando. Agora é só acharmos o α !

Passo 2

Sabemos que, como v → é o autovetor associado a esse autovalor:

0 1 1 1 1 α = 1 + 5 2 1 α

α 1 + α = 1 + 5 2 1 α

Passando isso pra um sistema:

α = 1 + 5 2 1 + α = 1 + 5 2 α

A segunda equação ficou feia, mas olha que linda a primeira haha. Já nos dá direto o valor de α ;)

Resposta

Letra b

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