Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

Passo 1

a Vamos usar a definição da derivada nesse ponto x = 1 ! A definição seria esse limite aqui:

lim x → 1 ⁡ f x - f 1 x - 1

Ele vai acabar sendo feito com dois limites laterais em relação a 1 . Com isso, queremos calcular os seguintes limites:

lim x → 1 + ⁡ 1 x - 4 3 - 1 1 - 4 3 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ 1 x - 1 x - 1

lim x → 1 + ⁡ - x 3 3 - - 1 3 3 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ 1 3 - x 3 3 x - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolvemos o primeiro limite:

lim x → 1 + ⁡ 1 x - 1 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ 1 - x x x - 1 = lim x → 1 + ⁡ 1 - x x x - 1

= lim x → 1 + ⁡ - x - 1 x x - 1 = lim x → 1 + ⁡ - 1 x = - 1

Passo 3

O segundo sai com um produto notável de terceiro grau:

lim x → 1 + ⁡ 1 3 - x 3 3 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ 1 - x 3 3 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ 1 - x 1 + x + x 2 3 x - 1

= lim x → 1 + ⁡ - x - 1 1 + x + x 2 3 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ - 1 + x + x 2 3

= - 1 + 1 + 1 3 = - 1

Passo 4

A gente conclui, com isso, que os limites das derivadas se igualam! Assim, fica o seguinte:

lim x → 1 + ⁡ f x - f 1 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ f x - f 1 x - 1 = - 1

lim x → 1 ⁡ f x - f 1 x - 1 = - 1

O que nos diz que a função é derivável em x = 1 .

Passo 5

b Sabendo que um dos requisitos para uma função ser diferenciável é que ela seja contínua, nós garantimos que ela será contínua em x = 1 , já que ela é derivável nesse ponto. Dado que a função é contínua nesse ponto de mudança e não tem nenhuma descontinuidade nos dois domínios, nós podemos garantir que a função é contínua para todo x !

Resposta

a   f   é   d e r i v á v e l   e m   x = 1

b   f   é   c o n t í n u a .

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