Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

Dada a seguinte função

f x = x 2 sin ⁡ 1 x sin ⁡ x 0 ,     x = 0 ,     x ≠ 0

Então:

  1. f é contínua em 0 e derivável em 0
  2. f é contínua em 0 e não derivável em 0
  3. f não é contínua em 0 e não derivável em 0
  4. f não é contínua em 0 e é derivável em 0
  5. N e n h u m a   d a s   o u t r a s   a f i r m a ç õ e s   é   v e r d a d e i r a

Passo 1

Vamos lá. Como a questão tá pedindo informações sobre diferenciabilidade, antes de discutirmos as opções, bora ver a condição pra uma função ser contínua:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ f x = f 0

Se isso aí for verdade, então sim nossa função é contínua! Uma coisa legal aqui que vai facilitar a nossa vida é que, de fato:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ f x

Porque a lei de formação pra um x → 0 tanto pela esquerda quando pela direita é a mesma! Show, vamos calcular então:

lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x sin ⁡ x

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Passo 2

Calculando lim x → 0 ⁡ f x

Vamos começar então. A primeira coisa a notar é que:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 1 x

Não existe! Isso pode complicar um pouco as contas. Se usarmos das propriedades dos limites, chegamos à:

lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x sin ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ x ∙ lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 1 x

Então mesmo que o limite de sin ⁡ 1 x não exista, podemos analisar o outro limite. Partiu então:

lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ x

Uma coisa engraçada sobre esse limite é que ele é o inverso do limite fundamental trigonométrico. Quer ver? Dá uma olhada então nessa manipulação:

lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ x =   lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x 2 - 1

Usando outra propripriedade dos limites:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x 2 - 1 =   lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x 2 - 1

E de novo, usando a propriedade do produto de limites:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x 2 - 1 = lim x → 0 ⁡ 1 x ∙ lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x - 1

E não é que surgiu o limite fundamental trigonométrico ai? Sendo:

lim x → 0 ⁡ 1 x = ∞

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1

Ficamos com:

lim x → 0 ⁡ 1 x ∙ lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x - 1 = ∞ - 1 = 1 ∞ = 0

E logo:

lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ x = 0

E assim, pelo teorema do confronto, temos:

- 1 ≤ sin ⁡ 1 x ≤ 1

- x 2 sin ⁡ x ≤ x 2 sin ⁡ 1 x sin ⁡ x ≤ x 2 sin ⁡ x

- lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ x ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x sin ⁡ x ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ x

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x sin ⁡ x ≤ 0

Logo, o limite é

lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x sin ⁡ x = 0

Passo 3

Analisar a continuidade e a diferenciabilidade

A continuidade a gente já pode analisar direto. Lembrando da fórmula:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ f x = f 0

Vimos que:

lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x sin ⁡ x = 0

E do enunciado:

f 0 = 0

Então de fato nossa função vai ser contínua! Agora, sobre a sua diferenciabilidade em x = 0 , vamos precisar ver suas derivadas laterais. Se elas forem iguais, ai sim será diferenciável. Vamos ter que achar então:

f ' 0 - = f ' 0 +

Como a lei de formação pela direita e pela esquerda é a mesma e igual à f x = x 2 sin ⁡ 1 x sin ⁡ x , vai bastar que exista f ' 0 pra função ser diferenciável em x = 0 .

Mas olha só! É ai que mora o problema! Como sin ⁡ 1 0 não existe, e na hora de derivar essa função esse termo não vai sumir (na verdade, até aparecer um cos ⁡ 1 x vai aparecer se usarmos a regra do quociente e do produto), então:

∄   f ' 0   s e   f x = x 2 sin ⁡ 1 x sin ⁡ x  

Logo essa função não vai ser diferenciável em 0 e vai estar valendo a letra B como opção correta 😉 Questão fechada, agora é só partir pro abraço!

Resposta

L e t r a   B

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