Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

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Enunciado

Considere a função f : R → R dada por

f x = - e x ,     s e   x ≥ 0 ; a cos ⁡ x + b s e n x ,       s e   x ≤ 0 ,   o n d e   a   e   b   s ã o   c o n s t a n t e s   r e a i s .

1. Determine todos os valores de a e b que tornam f contínua em x = 0

2. Determine todos os valores de a e b quetornam f derivável em x = 0 .

3. Utilizando os valores de a e b obtidos no item (b), escreva a expressão de f ' x .   Calcule, caso exista, f ' ' 0

Passo 1

A primeira questão nos pede que a função seja continua. Para isso precisamos que ela ela tenha pras duas funções que representam ela, o mesmo valor naquele determinado ponto onde ela “quebra”, certo? Dessa forma garantimos que ela n tem nenhum degrau.

Logo

f 0 = - e 0 = - 1

Bom, precisamos então que em x = 0 , a cos ⁡ x + b s e n x seja -1.

Observa que sabemos que

cos ⁡ 0 = 1

s e n 0 = 0

Logo

a cos ⁡ x + b s e n x = - 1

a 1 + b 0 = - 1

a = - 1

Com isso concluímos que b pode ser qualquer valor dentro dos R , enquanto a deve valer -1.

Passo 2

Próximo passo são os valores de a e b para ser derivável. Bom, façamos o seguinte então

f x = - e x

f ' x = - e x

f ' 0 = - 1

f x = acos ⁡ x + b s e n x

f ' x = - a s e n x + b c o s ( x )

f ' 0 = - 1 = - a 0 + b 1 → b = - 1

Passo 3

Temos então que f ' ( x ) será expresso por

f ' x = - e x ,     s e   x ≥ 0 ; - a sen ⁡ x + b c o s x ,       s e   x ≤ 0 ,  

Com os valores de a e b conhecidos

f ' x = - e x ,     s e   x ≥ 0 ; sen ⁡ x - c o s x ,       s e   x ≤ 0 ,  

Passo 4

Calculando então f ' ' ( 0 )

f ' ' 0 = - e 0 = - 1

f ' ' x = cos ⁡ x + s e n x

f ' ' 0 = 1

Opa, temos então que a segunda derivada não existe, já que o limite para 0 + é diferente do que para 0 - .

Resposta

a = - 1 ,   b = - 1

f ' x = - e x ,     s e   x ≥ 0 ; sen ⁡ x - c o s x ,       s e   x ≤ 0 ,  

f ' ' 0   ∄

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