Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

Introdução às Derivadas

Considere f a função definida por:

f x = 2 x 2 + 2 x + a                 s e   x > 0 b                                                               s e   x = 0 x 3 + c x + 3                       s e   x < 0

( a ) Dê um exemplo de valores para a , b e c tal que NÃO exista lim x → 0 ⁡ f ( x ) .

( b ) Dê um exemplo de valores para a , b e c tal que exista lim x → 0 ⁡ f ( x )

( c ) Dê um exemplo de valores para a , b e c de forma que f SEJA contínua mas NÃO exista f ' ( 0 ) .

( d ) Dê um exemplo de valores para a , b e c de forma que EXISTA f ' ( 0 )

Passo 1

Antes de resolver vamos lembrar o que cada letra pede significa matematicamente:

lim x → 0 ⁡ f ( x )   e x i s t e :     lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ f ( x )

( l i m i t e s   l a t e r a i s   i g u a i s )

f x   c o n t í n u a   e m   x = 0 :     lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = f ( 0 )

f ' x   c o n t í n u a   e m   x = 0 :     lim x → 0 + ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 - ⁡ f x - f 0 x - 0

Aproveitando, vamos calcular logo a derivada de f ( x ) , que usaremos nos dois últimos itens:

f x = 2 x 2 + 2 x + a                 s e   x > 0 b                                                               s e   x = 0 x 3 + c x + 3                       s e   x < 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

( a ) Queremos que o lim x → 0 ⁡ f ( x ) não exista, ou seja

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) ≠ lim x → 0 - ⁡ f ( x )

Substituindo a função fica assim:

lim x → 0 + ⁡ 2 x 2 + 2 x + a ≠ lim x → 0 - ⁡ x 3 + c x + 3

2 ( 0 ) + 2 ( 0 ) + a ≠ ( 0 ) + c 0 + 3

a ≠ 3

Ou seja, precisamos escolher um trio de valores onde b e c tomem qualquer valor e a seja diferente de 3 . Vou escolher a = b = c = 1

Passo 3

( b ) Agora queremos que lim x → 0 ⁡ f ( x ) exista:

lim x → 0 + ⁡ 2 x 2 + 2 x + a = lim x → 0 - ⁡ x 3 + c x + 3

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ f ( x )

2 0 + 2 0 + a = ( 0 ) + c 0 + 3

a = 3

Queremos um trio de valores similar ao de ( a ) , porém com a = 3 . Vou escolher a = 3 com b = c = 1 .

Passo 4

( c ) Agora queremos que f ( x ) seja contínua em x = 0 mas sua derivada não:

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = f 0 lim x → 0 + ⁡ f x - f 0 x - 0 ≠ lim x → 0 - ⁡ f x - f 0 x - 0

Temos que resolver esse sistema agora, vamos lá:

lim x → 0 + ⁡ 2 x 2 + 2 x + a = lim x → 0 - ⁡ x 3 + c x + 3 = b lim x → 0 + ⁡ 2 x 2 + 2 x + a - 2 ( 0 ) + 2 ( 0 ) + a x - 0 ≠ lim x → 0 - ⁡ x 3 + c x + 3 - ( 0 ) + c ( 0 ) + 3 x - 0

a = 3 = b lim x → 0 + ⁡ 2 x 2 + 2 x x ≠ lim x → 0 - ⁡ x 3 + c x x

a = 3 = b lim x → 0 + ⁡ 2 x + 2 ≠ lim x → 0 - ⁡ x 2 + c

a = 3 = b 2 ≠ c

Ou seja, precisamos escolher um trio de pontos em que a = b = 3 e c ≠ 2 . Vou escolher a = b = 3 e c = 1 .

Passo 5

( d ) A diferença dessa para a c é que agora vale a igualdade para a continuidade da derivada. A resolução vai ser toda a mesma porém no final acharemos que c deve ser igual a 2 :

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = f 0 lim x → 0 + ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 - ⁡ f x - f 0 x - 0

lim x → 0 + ⁡ 2 x 2 + 2 x + a = lim x → 0 - ⁡ x 3 + c x + 3 = b lim x → 0 + ⁡ 2 x 2 + 2 x + a - 2 ( 0 ) + 2 ( 0 ) + a x - 0 = lim x → 0 - ⁡ x 3 + c x + 3 - ( 0 ) + c ( 0 ) + 3 x - 0

a = 3 = b lim x → 0 + ⁡ 2 x 2 + 2 x x = lim x → 0 - ⁡ x 3 + c x x

a = 3 = b lim x → 0 + ⁡ 2 x + 2 = lim x → 0 - ⁡ x 2 + c

a = 3 = b 2 = c

Temos aqui a = b = 3 e c = 2 .

Resposta

a   a = b = c = 1

b   a = 3 ; b = c = 1

c   a = b = 3 ; c = 1

d   a = b = 3 ; c = 2

( O B S . : N a s   l e t r a s   a , b e   c   c a b e m   o u t r a s   r e s p o s t a s   s i m i l a r e s   n o   r a c i o c í n i o  

p o r é m   e s c o l h e n d o   o u t r o s   v a l o r e s   p a r a   a s   c o n s t a n t e s )

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