Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

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Enunciado

Considere a função

f x = - x 2 ,   s e   x < 1 1 x ,   s e   x ≥ 1

A função f é diferenciável em x 0 = 1 ? É contínua em x 0 = 1 ?

Passo 1

Fala aí, galera!!! Tranquilidade aí com vocês?

Vamos partir do conceito de diferenciabilidade e continuidade. Para um ponto qualquer, dizemos que a função é diferenciável nesse ponto quando ela puder ser derivada nesse ponto.

Uma coisa que deve lembrar SEMPRE: Funções que NÃO SÃO CONTÍNUAS em um certo ponto, AUTOMATICAMENTE TAMBÉM NÃO SÃO DIFERENCIÁVEIS NESSE PONTO. Agora, se a função for contínua ela pode ou não ser diferenciável.

Passo 2

Para conferirmos se uma função é contínua ou não, devemos verificar alguns pontos, sendo eles:

  • Se a função está definida;
  • Verificar se o limite da função no ponto x = a existe;
  • Como o limite existe, devemos conferir se f a = lim x → a ⁡ f ( x ) ;

Considerando isso, começaremos vendo se a função está definida, note que temos uma função onde ela tem duas leis de formação dependendo do tipo de intervalo que estivermos escolhendo. Nesse caso, estamos avaliando em x 0 = 1 , ou seja, f x = 1 x

Note que ao substituirmos x = 1 , temos que f x = 1 , ou seja, ela existe!!

Passo 3

Sendo assim vamos conferir a próxima afirmação, se o limite existe, para que o limite exista os limites laterais devem ser iguais.

f a + = f a - ≠ ± ∞

Vamos fazer as aproximações

lim x → 1 - ⁡ - x 2 = - 1 2

lim x → 1 + ⁡ 1 x = 1

Opa, temos valores diferentes, logo ela não é contínua, considerando isso também não é diferenciável neste ponto.

Resposta

f ( x ) não é contínua e nem diferenciável em x 0 = 1

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