Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

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Enunciado

Use o gráfico da função para determinar os valores de x em que a função é diferenciável e indique os valores de x em que a derivada é (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.

f   x = | x + 3 |

Passo 1

Começamos abrindo essa função em cada uma das suas regiões:

f x = x + 3 ,     x ≥ - 3 - x - 3 ,     x < - 3

O gráfico de x + 3 , na região de x ≥ - 3 é uma reta de coeficiente angular 1 . A reta - x - 3 será exatamente igual à reta x + 3 , só que rebatida em torno do eixo y . O gráfico de f , portanto, é assim:

Passo 2

Assim, podemos analisar as derivadas.

A derivada não existe em x = - 3 , pois lá a função tem um “bico”, gerado pelo módulo.

Portanto, a função é diferenciável em

R - { - 3 }

Passo 3

A derivada é negativa para x < - 3 , pois nessa região a função é decrescente.

A derivada é positiva em x > - 3 , pois nessa região a função é crescente.

A derivada não é nula em ponto nenhum, pois não há nenhuma região horizontal no gráfico.

Resposta

d i f e r e n c i á v e l   e m   R - { - 3 }

i n u l a : e m   n e n h u m   p o n t o

i i p o s i t i v a : p a r a   x > - 3

i i i n e g a t i v a : p a r a   x < - 3

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