Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

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Enunciado

Derive a função (se possível, simplifique antes e/ou depois de derivar).

M x =   x 3 s e n 1 x 4       s e   x   ≠ 0 0                                             s e   x = 0

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é verificar se a função é contínua em x = 0 . Se ela não for contínua, não vai ser derivável. Depois de verificar se a função é contínua, temos que verificar se as derivadas laterais existem e são iguais.

Para a função ser contínua devemos ter:

lim x → 0 ⁡ x 3 s e n 1 x 4 = 0

Vamos calcular esse limite então.

Passo 2

Vamos dar uma manipulada no nosso limite:

lim x → 0 ⁡ x 3 s e n 1 x 4 = lim x → 0 ⁡ 0 3 s e n ± ∞

Vamos usar o Teorema do Confronto!

- 1 ≤ s e n 1 x 4 ≤ 1

Então:

lim x → 0 ⁡ x 3 - 1 ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 s e n 1 x 4 ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 1

lim x → 0 ⁡ 0 3 - 1 ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 s e n 1 x 4 ≤ lim x → 0 ⁡ 0 3 1

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 s e n 1 x 4 ≤ 0

Assim:

lim x → 0 ⁡ x 3 s e n 1 x 4 = 0

E a função é contínua!

Passo 3

Agora vamos ver as derivadas laterais:

x 3 s e n 1 x 4 ' = 3 x 2 s e n 1 x 4 + x 3 s e n 1 x 4 '

x 3 s e n 1 x 4 ' = 3 x 2 s e n 1 x 4 - 4 x 2 c o s 1 x 4

Para nossa função ser derivável, essa derivada que achamos precisa ser zero quando x = 0 . Contudo, porém, entretanto, todavia, temos x no denominador, então da ruim. Vamos usar o Teorema do Confronto de novo pra calcular essa derivada em x = 0 :

- 1 ≤ s e n 1 x 4 ≤ 1

Para a primeira parcela, temos:

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 - 1 ≤ lim x → 0 ⁡ 3 x 2 sen ⁡ 1 x 4 ≤ lim x → 0 ⁡ 3 x 2 1

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 - 1 = lim x → 0 ⁡ 3 x 2 1 = 0     →     lim x → 0 ⁡ 3 x 2 sen ⁡ 1 x 4 = 0

Já para a segunda parcela:

- 4 x 2 c o s 1 x 4 = - 4 x 6 c o s 1 x 4 1 x 4

E o limite também da zero.

Então, a função será derivável em x = 0 ! Teremos f ' 0 = 0 nesse ponto.

Resposta

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