Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

Ver Teoria

Enunciado

Determine valores de a e b , tais que

g x = x 3 + 2 x 2 + a x + b + 1 , s e   x ≤ 0 , a cos ⁡ x + 2 b sen ⁡ x , s e   x > 0 .

seja diferenciável em x 0 = 0 .

Passo 1

Antes de mais nada, pra g ser diferenciável em x 0 = 0 , ela precisa ser contínua nesse ponto.

Os limites laterais em 0 devem ser iguais:

lim x → 0 - ⁡ g x = lim x → 0 + ⁡ g x

Então vamos calcular esses limites laterais.

  • Para x → 0 - , temos g x = x 3 + 2 x 2 + a x + b + 1 , então:
  • lim x → 0 - ⁡ g x = 0 + 0 + 0 + b + 1 = b + 1

  • Para x → 0 + , vale a outra definição pra função: g x = a cos ⁡ x + 2 b sen ⁡ x :
  • lim x → 0 + ⁡ g x = a . 1 + 2 b . 0 = a

    Logo, devemos ter:

    b + 1 = a

    Passo 2

    Ok, então contanto que b + 1 = a , garantimos que g é contínua em x 0 = 0 .

    Mas isso não basta pra ela ser diferenciável, as derivadas laterais também têm que ser iguais!

    g ' 0 - = g ' 0 +

  • A derivada pela esquerda é:
  • g ' x - = 3 x 2 + 4 x + a

    → g ' 0 - = 0 + 0 + a = a

  • A derivada pela direita é:

g ' x + = - a sen ⁡ x + 2 b cos ⁡ x

→ g ' 0 + = - a . 0 + 2 b . 1 = 2 b

Então devemos ter

a = 2 b

Passo 2

Ótimo, obtivemos 2 equações para 2 incógnitas:

a = b + 1 a = 2 b

Mamãozinho com açúcar pra resolver, né?

b + 1 = 2 b ⇒ b = 1

⇒ a = 2

Pronto! Essas são as condições pra g ser diferenciável em x 0 = 0 .

Resposta

a = 2

b = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico de f x = x | x | Para quais os valores de x f é diferenciável?Encontre uma fórmula para f '
Considere: f x = x 2 ,s ex ≤ 2 m x + b,s ex2 Encontre os valores de m e b que tornem f derivável em toda parte.
a) Para quais valores de x a função f x = x 2 - 9 é derivável? Ache uma formula para f ' b) Esboce os gráficos de f e f ' .