Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

Regras de Derivação I

Para quais valores de a e b reais a função

f x = a x                                                       s e   x < 2 a x 2 - b x + 3             s e   x ≥ 2

É derivável para qualquer x ?

Passo 1

Vamos lá, para que f ( x ) seja derivável em qualquer x temos que a função deve ser contínua em todo o seu domínio e sua derivada também deve ser contínua em todo seu domínio. Por se tratar de uma função puramente polinomial ela é derivável em todo seu domínio por definição. O único detalhe agora é saber se justamente no ponto onde x = 2 , que é onde sua lei de formação muda, a função também é derivável.

Qual é o objetivo então? Fazer com que ela seja contínua em x = 2 , bem como sua derivada. A partir daí devemos chegar num sistema para resolver e descobrir a e b !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que f ( x ) vale:

f x = a x                                                       s e   x < 2 a x 2 - b x + 3             s e   x ≥ 2

Dessa forma, f ' ( x ) será:

f ' x = a                                     s e   x < 2 2 a x - b           s e   x ≥ 2

O que precisamos garantir? A continuidade da função e de sua derivada, ou seja:

lim x → 2 + ⁡ f ( x )   = lim x → 2 - ⁡ f ( x )

lim x → 2 + ⁡ f ' x = lim x → 2 - ⁡ f ' x

Passo 3

Substituindo a função, fica assim:

lim x → 2 + ⁡ a x 2 - b x + 3 = lim x → 2 - ⁡ a x

lim x → 2 + ⁡ 2 a x - b = lim x → 2 - ⁡ a

a 2 2 - b 2 + 3 = a ( 2 ) 2 a 2 - b = a

2 a - 2 b = - 3 3 a = b

2 a - 2 3 a = - 3 → a = 3 4

b = 9 4

Resposta

a = 3 4 ; b = 9 4

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