Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

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Enunciado

Dizemos que a função f possui derivada lateral à esquerda no ponto x = a quando existe o limite: f ' - a =   lim x → a - ⁡ f x - f ( a ) x - a = l i m h → 0 - f a + h - f ( a ) h  

De maneira análoga definimos derivada lateral à direita f ' + a . Mostre que f é derivável no ponto x=a se, e semente se, as derivadas laterais existem e são iguais.

Passo 1

Fala galera, tudo blz? Essa questão quer que provemos o teorema das derivadas laterais. Então, antes de tudo, vamos relembrar o que esse teorema nos diz: “Uma função será derivável em um ponto se existirem derivadas laterais nesse ponto e se essas derivadas laterais forem iguais. ”

Pois bem, para respondermos essa questão podemos pensar em uma função f(x) onde suas derivadas laterais existem, porém, não são iguais. Vamos nessa:

Seja f a função definida por:

f x = 5 - 2 x ,         s e   x < 3 4 x - 13 ,       s e   x ≥ 3  

Passo 2

Agora, vamos encontrar suas derivadas laterais no ponto a = 3:

  • f ' + 3 = l i m h → 0 + f 3 + h - f 3 h
  • f 3 = 4.3 - 13 =   - 1
  • f 3 + h = 4 3 + h - 13 = 12 + 4 h - 13 = 4 h - 1

l i m h → 0 + f 3 + h - f 3 h = l i m h → 0 + ( 4 h - 1 ) - ( - 1 ) h = l i m h → 0 + 4 h - 1 + 1 h =   l i m h → 0 + 4 h h =   l i m h → 0 + 4 = 4

  • f ' - 3 = l i m h → 0 - f 3 + h - f ( 3 ) h
    • f 3 = 5 - 2 . 3 = 5 - 6 = - 1
    • f 3 + h = 5 - 2 . 3 + h = 5 - 6 - 2 h = - 2 h - 1
  • l i m h → 0 - f 3 + h - f 3 h = l i m h → 0 - ( - 2 h - 1 ) - ( - 1 ) h = l i m h → 0 - - 2 h h = l i m h → 0 - - 2 = - 2

    Com isso, provamos a existência das derivadas laterais, no entanto elas não coincidiram. O que vai contra uma das condições de existência da derivada.

    Passo 3

    Agora, vamos ver graficamente o que está acontecendo:

  • Em azul a função f x = 5 - 2 x , ou seja, para valores de x < 3 ;
  • Em vermelho a função f x = 4 x + 13 , ou seja, para valores de x ≥ 3 .

Quando analisamos esse gráfico chegamos a seguinte conclusão, exatamente no ponto x = 3 , tem-se a formação de uma “ponta” ou “bico”, e podemos ver q nesse ponto podem passar uma infinidade de retas, mas nenhuma dela será tangente ao gráfico, no x = 3 , exatamente pela existência dessa ponta. Então, para que uma função seja derivável em determinado ponto, é necessário que nesse ponto exista uma suavidade no traçado do gráfico, e é o que não acontece nesse exemplo.

Resposta

Feito o estudo das derivadas laterais da função exemplo em questão:

f x = 5 - 2 x ,         s e   x < 3 4 x - 13 ,       s e   x ≥ 3   , foi possível observar que como as derivadas laterais não coincidiram, houve a formação de uma “ponta” no gráfico, exatamente no ponto estudado, logo, não existirá nenhuma reta tangente ao ponto, e a reta tangente é exatamente a derivada da função f(x).

∴ se não tem reta tangente no ponto em questão, a derivada da função também não existe.

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