Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

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Enunciado

Use o gráfico da função para determinar os valores de x em que a função é diferenciável e indique os valores de x em que a derivada é (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.

f   x = x 2 - 4 ,   x ≤ 0 4 - x 2 ,   x > 0

Passo 1

No intervalo x ≤ 0 o gráfico será a parábola x 2 - 4 , cuja concavidade é para baixo e as raízes são x = ± 2 (só será usada a x = - 2 , pois a outra não está no intervalo x ≤ 0 ). Já no intervalo > 0 , o gráfico é a parábola 4 - x 2 , cuja concavidade é para baixo e a raiz que será usada é x = 2 .

Passo 2

Podemos analisar as derivadas.

A derivada não existe em x = 0 , pois a função não é contínua nesse ponto, o que pode ser percebido pelo “pulo” que ela dá em x = 0 . Portanto, é diferenciável em

R - { 0 }

Passo 3

A derivada é negativa no intervalo - ∞ ,   0 ∪ ( 0 , ∞ ) , pois nessa região a função é decrescente.

A derivada nunca é positiva, pois a função nunca é crescente.

A derivada não é nula em nenhum ponto.

Resposta

d i f e r e n c i á v e l   e m   R - { 0 }

i n u l a : n ã o   e x i s t e

i i p o s i t i v a : n ã o   e x i s t e

i i i n e g a t i v a : - ∞ ,   0 ∪ ( 0 , ∞ )

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