Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

Considere a função: f x = x 2 ,       x ≥ 0 - x 2 ,       x < 0

Usando a definição, calcule a derivada desta função no ponto x = 0 .

Passo 1

A derivada no ponto será definida pelo limite:

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ f x - 0 x = lim x → 0 ⁡ f x x

Como a expressão de f x muda à esquerda e à direita de x = 0 , vamos usar os limites laterais. Se os limites laterais derem iguais, então o limite existe e, portanto a derivada também.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pela esquerda, para valores de x < 0 , f x = - x 2 , então:

lim x → 0 - ⁡ f x x = lim x → 0 - ⁡ - x 2 x = - lim x → 0 - ⁡ x = 0

Já para a direita, para valores de x > 0 , f x = x 2 , então:

lim x → 0 + ⁡ f x x = lim x → 0 + ⁡ x 2 x = lim x → 0 + ⁡ x = 0

Como os limites laterais são iguais, o limite existe e é igual ao valor dos limites laterais, ficando: f ' 0 = 0

Resposta

f ' 0 = 0

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