Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

5) Considere a função:

h x = x 2 + 2 x + 4 ,     x < 2 a x + b ,     x ≥ 2

Determine os valores de a e b que fazem com que h seja derivável no ponto x   =   2 .

Passo 1

Pra começar a falar de diferenciabilidade de funções definidas por partes, temos que pensar primeiro no seguinte: dá pra ser diferenciável sem ser contínua? É, não rola né? Então vamos testar a continuidade da função em x = 2 :

lim x → 2 - ⁡ h x = lim x → 2 + ⁡ h x = h 2

Pra valores menores que 2 , a lei de formação é x 2 + 2 x + 4 . Logo:

lim x → 2 - ⁡ x 2 + 2 x + 4 = lim x → 2 + ⁡ h x = h 2

Pra valores maiores ou iguais a 2 , usamos a outra lei de formação, beleza? Sendo assim:

lim x → 2 - ⁡ x 2 + 2 x + 4 = lim x → 2 + ⁡ a x + b = a 2 + b

Resolvendo essas igualdades, temos:

12 = 2 a + b = 2 a + b

Ou seja:

2 a + b = 12

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, isso ainda não responde nossa questão, só nos dá uma condição pra trabalhar. Como é uma condição com duas variáveis, a gente provavelmente vai achar outra condição pra comparar e fazer um sistema em!

2 a + b = 12

Vamos pensar na diferenciabilidade agora: funções definidas por partes diferenciáveis tem derivadas laterais iguais! Sendo assim, derivando h x :

h ' x = 2 x + 2 ,     x < 2 a ,     x > 2

E comparando as derivadas laterais:

h ' 2 - = h ' 2 +

2 2 + 2 = a

6 = a

Viu só! Achamos outra condição! Sabendo a já, achamos b :

2 a + b = 12

2 6 + b = 12

12 + b = 12

b = 0

Sendo assim, para que h x seja diferenciável, temos que ter os valores:

a = 6 b = 0 → h x = x 2 + 2 x + 4 ,     x < 2 6 x ,     x ≥ 2

Resposta

a = 6 b = 0 → h x = x 2 + 2 x + 4 ,     x < 2 6 x ,     x ≥ 2

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