Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

Derivadas de Ordem Superior

Seja y = u cos 2 ⁡ u 3 .

  1. Calcule d y d u ;
  2. Se u = u x ,   calcule d y d x   e d 2 y d x ² .

Passo 1

a )  

Usando a regra do produto, nossa derivada primeira é

d y d u = 1 . cos 2 ⁡ u 3 + u cos 2 ⁡ u 3 '

Beleza, agora pra fazer essa “derivada da segunda”, precisaremos usar a regra da cadeia 2 vezes.

Primeira vez:

d y d u = 1 . cos 2 ⁡ u 3 + u 2 cos 1 ⁡ u 3 ∙ cos 1 ⁡ u 3 '

Segunda vez:

d y d u = 1 . cos 2 ⁡ u 3 + u 2 cos 1 ⁡ u 3 ∙ - sen ⁡ u 3 ∙ 3 u 2

Ficamos então com

d y d u = cos 2 ⁡ u 3 - 6 u 3 cos ⁡ u 3 sen ⁡ u 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Agora vamos considerar que u é uma função de x . Assim, nossa função y passa a ser uma função composta.

Para derivar funções compostas, usamos a regra da cadeia.

d y d x = d y d u ∙ d u d x

E, para nossa alegria, d y d u nós já calculamos na letra a , então é só substituir aí. E d u d x a gente não tem como calcular porque não sabemos a expressão de u ( x ) , então é só deixar indicado.

Assim:

d y d x = cos 2 ⁡ u 3 - 6 u 3 cos ⁡ u 3 sen ⁡ u 3 ∙ d u d x

Passo 3

Mas, ainda precisamos derivar isso novamente.

d 2 y d x ² = cos 2 ⁡ u 3 - 6 u 3 cos ⁡ u 3 sen ⁡ u 3 ∙ d u d x '

Para isso, vamos usar a regra do produto:

d 2 y d x ² = ( 2 cos ⁡ u 3 ∙ - sen ⁡ u 3 ∙ 3 u 2 ∙ d u d x - ( 18 u 2 d u d x cos ⁡ u 3 sen ⁡ u 3 + 6 u 3 ( - 3 u 2 du dx sen ⁡ u 3 sen ⁡ u 3 + 3 u 2 d u d x cos ⁡ u 3 cos ⁡ u 3 ) ∙ d u d x + cos 2 ⁡ u 3 - 6 u 3 cos ⁡ u 3 sen ⁡ u 3 ∙ d 2 u d x 2

Antes de continuar, vamos abrir um parênteses aqui:

(“Ai meu Deus, de onde saiu esse monte de d u d x ????” Calma! Esse “monte” na verdade são só dois. Um aparece porque estamos derivando as funções que tem u , mas u também é função de x , então também precisa ser derivado. É a regra da cadeia. E o segundo, que está fora dos parênteses vem da regra do produto: derivada do primeiro, vezes o segundo sem derivar. Ele é esse ‘segundo sem derivar’)

Encerrando nosso parênteses, vamos continuar...

d 2 y d x ² = - 6 u 2 cos ⁡ u 3 sen ⁡ u 3 - 18 u 2 cos ⁡ u 3 sen ⁡ u 3 - 6 u 3 - 3 u 2 sen 2 ⁡ u 3   + 3 u 2 cos 2 ⁡ u 3 ∙ d u d x 2 + cos 2 ⁡ u 3 - 6 u 3 cos ⁡ u 3 sen ⁡ u 3 ∙ d 2 u d x 2

d 2 y d x ² = - 24 u 2 cos ⁡ u 3 sen ⁡ u 3 + 6 u 3 3 u 2 sen 2 ⁡ u 3   - 3 u 2 cos 2 ⁡ u 3 ∙ d u d x 2 + cos 2 ⁡ u 3 - 6 u 3 cos ⁡ u 3 sen ⁡ u 3 ∙ d 2 u d x 2

Colocando 6 u 2 em evidencia:

d 2 y d x ² 6 u 2 3 u 3 sen 2 ⁡ u 3 - 4 sen ⁡ u 3 cos ⁡ u 3 - 3 u 3 cos 2 ⁡ u 3 d u d x 2 + cos 2 ⁡ u 3 - 6 u 3 cos ⁡ u 3 sen ⁡ u 3 ∙ d 2 u d x 2

Resposta

  1. Temos:
  2. d y d u = cos 2 ⁡ u 3 - 6 u 3 sen ⁡ u 3 cos ⁡ u 3

  3. Temos:

d y d x = cos 2 ⁡ u 3 - 6 u 3 sen ⁡ u 3 cos ⁡ u 3 d u d x

d 2 y d x 2 = cos 2 ⁡ u 3 - 6 u 3 sen ⁡ u 3 cos ⁡ u 3 d 2 u d x 2

+ 6 u 2 3 u 3 sen 2 ⁡ u 3 - 4 sen ⁡ u 3 cos ⁡ u 3 - 3 u 3 cos 2 ⁡ u 3 d u d x 2

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