Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

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Enunciado

Calcule M ' ' para a função do ex. 10. da Lista 7.

M x = x 3 sen ⁡ 1 x 4 s e x ≠ 0 0 s e x = 0  

Passo 1

A derivada desse cara vai ser a derivada da função, feita pelos métodos de derivação convencionais, para x ≠ 0 , somada à análise de sua possível derivada em x = 0 .

Assim, Começamos calculando essa derivada para valores fora de x ≠ 0 (com a Regra do Produto e da Cadeia):

x 3 sen ⁡ 1 x 4 ' = x 3 ' sen ⁡ 1 x 4 + x 3 sen ⁡ 1 x 4 '

= 3 x 2 sen ⁡ 1 x 4 + x 3 cos ⁡ 1 x 4 1 x 4 '

= 3 x 2 sen ⁡ 1 x 4 + x 3 cos ⁡ 1 x - 4 x 5

= 3 x 2 sen ⁡ 1 x 4 - 4 cos ⁡ 1 x 4 x 2

Passo 2

Olhamos agora para x = 0 . Vamos ver se a função é contínua e derivável nesse ponto.

Começamos com a continuidade:

lim x → 0 ⁡ x 3 sen ⁡ 1 x 4 = 0 3 sen ⁡ ± ∞

Indeterminação dentro do seno? Vamos usar o Teorema do Confronto!

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x 4 ≤ 1

lim x → 0 ⁡ x 3 - 1 ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 sen ⁡ 1 x 4 ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 1

lim x → 0 ⁡ x 3 - 1 = lim x → 0 ⁡ x 3 1 = 0

Logo,

lim x → 0 ⁡ x 3 sen ⁡ 1 x 4 = 0

Onde temos que, do enunciado:

M 0 = 0

É contínua! Ótimo, falta provar só se podemos derivá-la

Passo 3

Vamos na definição da derivada agora:

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x 3 sen ⁡ 1 x 4 - 0 x - 0

= lim x → 0 ⁡ x 3 sen ⁡ 1 x 4 x = lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x 4

Para esse limite, o mesmo esquema: Teorema do Confronto!

os usar o Teorema do Confronto!

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x 4 ≤ 1

lim x → 0 ⁡ x 2 - 1 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x 4 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 1

lim x → 0 ⁡ x 2 - 1 = lim x → 0 ⁡ x 2 1 = 0

lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x 4 = 0

Então, a função será contínua em x = 0 sim! Valerá M ' 0 = 0 nesse ponto.

Organizando tudo, teremos a derivada de M x dada por:

M ' x = 3 x 2 sen ⁡ 1 x 4 - 4 cos ⁡ 1 x 4 x 2     ,       x ≠ 0   0                                     ,   x = 0

Passo 4

OBS.: Repara que aplicando x = 0 em 3 x 2 sen ⁡ 1 x 4 - 4 cos ⁡ 1 x 4 x 2 não obtemos 0

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 sen ⁡ 1 x 4 - 4 cos ⁡ 1 x 4 x 2

No primeiro termo:

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x 4 ≤ 1

lim x → 0 ⁡ x 2 - 1 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x 4 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 1

lim x → 0 ⁡ x 2 - 1 = lim x → 0 ⁡ x 2 1 = 0

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 sen ⁡ 1 x 4 = 0

No segundo termo:

lim x → 0 ⁡ - 4 cos ⁡ 1 x 4 x 2 = - cos ⁡ ∞ 0

Se 1 x 4 for um valor que não zere o cosseno, teremos uma constante sobre 0 , que vai para ± ∞ .

Se 1 x 4 zerar o cosseno, podemos aplicar L’Hospital e ver que, ainda sim, o limite explodiria para ± ∞ .

Assim, podemos extrair que esse valor nunca será 0 , sendo a M ' x uma função descontínua em x = 0 .

Passo 5

Fazemos o mesmo agora para a segunda derivada!

Derivando o termo de x ≠ 0 :

M ' ' x = 3 x 2 sen ⁡ 1 x 4 - 4 cos ⁡ 1 x 4 x 2 '

= 3 x 2 ' sen ⁡ 1 x 4 + 3 x 2 sen ⁡ 1 x 4 ' - 4 cos ⁡ 1 x 4 ' x 2 - 4 cos ⁡ 1 x 4 x 2 ' x 2 2

= 6 x sen ⁡ 1 x 4 + 3 x 2 cos ⁡ 1 x 4 x - 4 ' - 4 - sen ⁡ 1 x 4 x - 4 ' x 2 - 4 cos ⁡ 1 x 4 2 x x 4

= 6 x sen ⁡ 1 x 4 + cos ⁡ 1 x 4 - 4 3 x 2 x 5 - - 4 sen ⁡ 1 x 4 - 4 x 2 x 5 - 8 x cos ⁡ 1 x 4 x 4

= 6 x sen ⁡ 1 x 4 + cos ⁡ 1 x 4 - 12 x 3 - sen ⁡ 1 x 4 16 x 7 + 8 x 3 cos ⁡ 1 x 4

M ' ' x = sen ⁡ 1 x 4 6 x - 16 x 7 - 4 x 3 cos ⁡ 1 x 4

Essa é a derivada da função na região de x ≠ 0 .

Em x = 0 , entretanto, não haverá M ' ' x , pois M ' x não é contínua nesse ponto, então suas derivadas não existirão aí.

Logo,

M ' ' x = sen ⁡ 1 x 4 6 x - 16 x 7 - 4 x 3 cos ⁡ 1 x 4     ,       x ≠ 0   ∄                                     ,   x = 0

Resposta

M ' ' x = sen ⁡ 1 x 4 6 x - 16 x 7 - 4 x 3 cos ⁡ 1 x 4     ,       x ≠ 0   ∄                                     ,   x = 0

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