Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

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Enunciado

Considere a função f : R ⟶ R dada por f x = x - 1 2 s e n   1 1 - x ,   s e   x ≠ 1 0 ,     s e   x = 1 .

  1. A função f é diferenciável em R ? Justifique sua resposta.
  2. Encontre a função f ' para todo valor de x no qual f é diferenciável.

Passo 1

Bom, pessoal, essa questão parece grande, mas nós somos maiores! Vem comigo!

A letra “a” nos pergunta se a função é diferenciável no domínio dos reais, mas como vamos saber se ela é ou não é. É simples, como essa função é definida em duas partes, uma quando x = 1 e outra quando x ≠ 1 , vamos verificar se ela é contínua nesse ponto, ou seja, vamos verificar se:

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = f ( 1 )

Pra ser diferenciável, ela precisa ser contínua.

Passo 2

Começando pelo limite para valores maiores que 1 :

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ x - 1 2 s e n   1 1 - x

Você concorda comigo que a função seno sempre está entre os valores de - 1 e 1 :?

- 1 ≤ s e n   1 1 - x ≤ 1

Logo se multiplicamos essa função por x - 1 2 , pelo seno e pelos dois podemos aplicar nos dois limites que o seno pode assumir, a desigualdade acima fica bem assim:

x - 1 2 ⋅ - 1 ≤ x - 1 2 ⋅ s e n   1 1 - x ≤ x - 1 2 ⋅ 1

Vamos começar calculando o limite pela direita, ou seja, usando valores de x maiores do que 1.

Se colocarmos no lugar de x um valor maior que 1 , mas ao mesmo tempo muito MUITO próximo de 1 , você concorda que x - 1 vai ser praticamente zero?

VocÊ concorda se colocarmos um valor no lugar de x maior que 1 , mas ao mesmo tempo muito próximo de 1 , nós chegaremos próximos a zero:

l i m x → 1 + x - 1 2 = 1 + - 1 2 = 0 + 2 = 0

Logo, multiplicando esses limitesos limites do seno por zero, na desigualdade, temos:

0 ⋅ - 1 ≤ x - 1 2 ⋅ s e n   1 1 - x ≤ 0 ⋅ 1

0 ≤ x - 1 2 ⋅ s e n   1 1 - x ≤ 0

Logo, se estamos entre zeros, quer dizer que nosso limite é igual a zero. Mas cuidado que esse é apenas o limite quando x tende a 1 pela direita::

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ x - 1 2 s e n   1 1 - x = 0

Passo 3

Vamos fazer o limite pelo outro lado:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x - 1 2 s e n   1 1 - x

Vamos repetir essa técnica de sanduíche com o seno:

- 1 ≤ s e n   1 1 - x ≤ 1

x - 1 2 ⋅ - 1 ≤ x - 1 2 ⋅ s e n   1 1 - x ≤ x - 1 2 ⋅ 1

Mas no caso de nos aproximarmos de x = 1   pela esquerda, dessa vez vamos pegar valores menores que 1 . Se colocarmos no lugar de x um valor menor que 1 , mas também muito MUITO próximo de 1, vamos achar um valor para x - 1 quase igual a zero e negativo.

Mas no caso de nos aproximarmos de x = 1 , dessa vez por valores menores que 1 , nós descobrimos que teremos um valor menor que zero elevado ao quadrado:

l i m x → 1 - x - 1 2 = 1 - - 1 2 = 0 - 2

Mas como estamos elevando um número negativo ao quadrado, ele se torna um valor bem pequeno positivo. Mas o que importa mesmo é que ele é tão tão pequeno que a gente pode igualar a zero., e Então chegamos a mesma conclusão do limite através de valores maiores que 1 :

l i m x → 1 - x - 1 2 = 1 - - 1 2 = 0 - 2 = 0

Então:

0 ⋅ - 1 ≤ x - 1 2 ⋅ s e n   1 1 - x ≤ 0 ⋅ 1

0 ≤ x - 1 2 ⋅ s e n   1 1 - x ≤ 0

Então nosso limite de x tendendo a 1 pela esquerda, se torna:

Nosso limite se torna:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x - 1 2 s e n   1 1 - x = 0

Passo 4

Bom nós calculamos os limites: pela esquerda e pela direita e eles são iguais entre si e iguais a zero:

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = 0

Mas temos que ver se bate com o valor da função no ponto de f ( 1 ) . E bate, pois o próprio enunciado já diz pra gente que:

f 1 = 0

Como temos que os limites coincidem com o valor da função nesse ponto de interesse:

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ f ( x ) =   f 1 = 0

Então a função é contínua e assim, ela é diferenciável em todo espaço dos números reais.

Passo 5

Agora vamos fazer a letra “b”, ele nos pede o valor da derivada da função para todo o espaço onde ela é diferenciável. Como essa função é definida em duas partes, vamos derivar essas duas partes, começando quando x = 1 :

f x = 0 ,     s e   x = 1

Olha bem, temos uma função que tem um valor constante nesse ponto, como sabemos a derivada de um valor constante é igual a zero, então:

f x = 0 →

f ' x = 0 ,   s e   x = 1

Foi molezinha? Agora vamos derivar a outra parte quando x é diferente de 1 !

Passo 6

Pessoal, qual é o valor da função quando x ≠ 1 ? Esse aqui:

f x = x - 1 2 s e n   1 1 - x ,   s e   x ≠ 1

Bom, agora é arregaçar as mangas e encontrar f ' ( x ) . Veja que temos o produto de duas funções de x :

Então precisamos usar a Regra do Produto:

f ' x = x - 1 2 ' ⋅ s e n 1 1 - x + x - 1 2 ⋅ s e n 1 1 - x '

Olhando para essas derivadas individualmente, vemos que ambas tem funções de x dentro de outra função, então vamos usar a Regra da Cadeia:

x - 1 2 ' = 2 ⋅ x - 1 ⋅ x - 1 ' = 2 ⋅ x - 1 ⋅ 1

Agora para a derivada da função seno:

s e n 1 1 - x ' = cos ⁡ 1 1 - x   ⋅ [ 1 - x - 1 ] ' =

= cos ⁡ 1 1 - x   ⋅ - 1 ⋅ 1 - x - 2   ( 1 - x ) '

= cos ⁡ 1 1 - x   ⋅ - 1 ⋅ 1 - x - 2   ( - 1 )

= cos ⁡ 1 1 - x   ⋅ - 1 1 - x 2    

Substituindo essas derivadas na Regra do Produto: f ' x = 2 ⋅ x - 1 ⋅ s e n 1 1 - x + x - 1 2 ⋅ cos ⁡ 1 1 - x   ⋅ - 1 1 - x 2

Agora é hora de simplificar essa expressão:

f ' x = 2 x - 2 ⋅ s e n 1 1 - x + x - 1 ⋅ ( x - 1 ) ⋅ - 1 1 - x ⋅ 1 - x ⋅ cos ⁡ 1 1 - x  

Quando multiplicamos:

x - 1 ⋅ x - 1 ⋅ - 1 1 - x ⋅ 1 - x = - 1 ⋅ 1 - x ⋅ - 1 x - 1 - x 1 - x ⋅ 1 - x

Podemos cortar os termos que se repetem no numerador e no denominador:

= - 1 ⋅ ( - 1 ) x - 1 1 - x = - 1 ⋅ 1 - x 1 - x + 1 = - 1

Então substituindo na nossa expressão:

f ' x = 2 x - 2 ⋅ s e n 1 1 - x + x - 1 ⋅ x - 1 ⋅ + - 1 1 - x ⋅ 1 - x ⋅ cos ⁡ 1 1 - x  

= 2 x - 2 ⋅ s e n 1 1 - x + - 1 1 ⋅ cos ⁡ 1 1 - x  

Então chegamos na expressão final igual a:

f ' x = 2 x - 2 ⋅ s e n 1 1 - x + - cos ⁡ 1 1 - x   ,   s e   x ≠ 1

Então a derivada da função também é dada em partes:

  f ' x = 2 x - 2 ⋅ s e n 1 1 - x cos ⁡ 1 1 - x   ,   s e   x ≠ 1 0 ,     s e   x = 1 .

Resposta

  1. É derivável.

f ' x = 2 x - 2 ⋅ s e n 1 1 - x cos ⁡ 1 1 - x   ,   s e   x ≠ 1 0 ,     s e   x = 1 .

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