Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

UFF, Cálculo IA-Lista 6, GMA, 2008-1, Questão 7

Determine a e b de modo que

f x = x 2       s e   x < 1 a x + b       s e   x ≥ 1

Seja diferenciável.

Passo 1

Para que a função seja diferenciável em um ponto ela tem que ser contínua nesse ponto.

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ x 2 = 1

lim x → 1 + ⁡ f x = l i m x → 1 + a x + b = a + b

Para ser contínua os limites laterais têm que ser iguais. Isso vai ocorrer quando:

a + b = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A outra condição para que uma função seja diferenciável é que suas derivadas laterais sejam iguais. Então vamos verificar isso.

f ' x = 2 x       s e   x < 1 a       s e   x ≥ 1

Então

f ' 1 - = 2 1 = 2

f ' 1 + = a

Para que as derivadas laterais sejam iguais, temos que

a = 2

Passo 3

Agora falta descobrir o valor de b que torna essa função diferenciável. Já sabemos que a = 2 . Vimos no primeiro passo que

a + b = 1

Então

2 + b = 1

b = - 1

Resposta

a = 2

b = - 1

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