Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

Diferenciabilidade de uma Função

Considere as funções

g x = 1 s e x < - 1 x s e x ≥ - 1

f x = 1 s e x < 0 1 - x 2 s e x ≥ 0

  1. Encontre f ∘ g x ;
  2. Usando (a), encontre f ∘ g ' x e determine o seu domínio D ;
  3. Determine o conjunto C onde podemos aplicar a regra da cadeia para calcular f ∘ g ' x ;
  4. Usando a Regra da Cadeia, encontre f ∘ g ' x ,   ∀ x   ∈ C ;
  5. Compare (b) e (d);
  6. Esboce os gráficos de g , f   e f ∘ g ;
  7. Indique nos gráficos os pontos onde g , f   e f ∘ g não são diferenciáveis.

Passo 1

a Temos que armar a composta de g x em f x

Reparem, os pontos onde as funções mudam seus domínios são x = - 1 , para g , e x = 0 , para f . Nesse caso, devemos dividir a função composta em três regiões: uma para x < - 1 , outra para - 1 ≤ x < 0 e a última para x ≥ 0 .

Assim, colocamos, em cada um dos três intervalos, uma função dentro da outra:

Antes de - 1 , temos g x e f x valendo 1 . Assim

f g x = 1 ,             x < - 1

Entre - 1 e 0 , temos g x = x e f x = 1 . Como f x é constante nessa região, f g x também será:

f g x = 1 ,               - 1 < x < 0

Por fim, na última região, para x > 0 teremos:

f g x = 1 - x 2 = 1 - x 2 ,                         x > 0

Ou seja, a função vale 1 para valores menores que x = 0 , e 1 - x 2 para valores maiores que x = 0 . No fim das contas, f g x será igual a f x !

f g x = 1 s e x < 0 1 - x 2 s e x ≥ 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b As duas partes da função f g x são contínuas no seu intervalo, resta ver se também são no ponto de mudança, x = 0 :

lim x → 0 + ⁡ 1 = 1       ;       lim x → 0 - ⁡ 1 - x 2 = 1 - 0 = 1

lim x → 0 + ⁡ 1 = lim x → 0 - ⁡ 1 - x 2

Nesse caso, para saber se é derivável, vemos que a função é polinomial em todo seu domínio, de modo que sua derivada para x ≠ 0 será dada por:

f g x ' = 1 ' s e x < 0 1 - x 2 ' s e x > 0

f g x = 0 s e x < 0 - 2 x s e x > 0

Nesse caso, como x = 0 é um ponto contínuo de f , vemos suas derivadas laterais para determinar sua derivada aí:

f ' g 0 + = - 2 0 = 0

f ' g 0 - = 0

Então,

f ' 0 = 0

f g x ' = 0 s e x < 0 - 2 x s e x > 0 0                 s e         x = 0

E seu domínio corresponde a todo o conjunto R dos reais.

Passo 3

c Vimos que f g x e f x são deriváveis sempre. Então a questão é observar aonde g x é derivável para observar aonde podemos derivar f g x ' pela Regra da Cadeia, pois ela dependerá da derivada g ' x :

f g x ' = f ' g x g ' x

Observando o domínio de g x , na região onde ela é constante igual a 1 , temos que a função é contínua e derivável, porém o módulo de x terá problema na derivada onde ele muda de sinal.

Ou seja, no “bico” desse x , em x = 0 , teremos a derivada inexistindo.

Além disso, resta observar se a função é contínua e derivável no ponto de mudança de domínio, em x = - 1 :

lim x → - 1 + ⁡ 1 = 1       ;       lim x → - 1 - ⁡ x = - 1 = 1

lim x → 0 + ⁡ 1 = lim x → 0 - ⁡ 1 - x 2

Nesse caso, para saber se é derivável, vemos que a função é polinomial em todo seu domínio, de modo que sua derivada para x ≠ 0 será dada por:

g ' x = 1 ' s e x < - 1 x ' s e x > - 1

g ' x = 0 s e x < - 1 - x ' s e 0 > x > - 1 x '                 s e                               x > 0

g ' x = 0 s e x < - 1 - 1 s e 0 > x > - 1 1             s e                               x > 0

Então, a derivada lateral de g x terá problemas em x = - 1 :

g - 1 + = - 1       ;       g ' - 1 - = 0

Enfim, g x não será derivável em x = 0 e x = - 1 .

Dessa forma, o conjunto C onde podemos aplicar a regra da cadeia para calcular f g x ' é:

C = R - 0,1

Passo 4

d Pela Regra da Cadeia, nos três intervalos, teremos:

x < - 1 :       f x = 1     ;       g x = 1

f ' g x g ' x = 1 ' 1 ' = 0

- 1 < x < 0 :       f x = 1     ;       g x = x = - x

f ' g x g ' x = 1 ' - x ' = 0

x > 0 :       f x = 1 - x 2     ;       g x = x = x

f ' g x g ' x = 1 - x 2 ' x x ' = - 2 x 1 = - 2 x

Enfim, obtivemos o mesmo resultado do item b , porém nos pontos de mudança achamos que a função não será derivável, em x = 0 e x = - 1 :

f g x ' = 0 s e                                     x < 0 - 2 x s e                                     x > 0 ∄                 s e         x = 0   ; x = - 1

Passo 5

e Comparando os intens b e d , reparamos a diferença na existência da derivada de x = 0 e x = - 1 no item b e a não-existência de ambas no item d .

Passo 6

f Basta desenhar cada reta ou parábola no seu respectivo domínio, dadas as 3 funções aí explicitadas. Assim, o gráfico ficaria com essa cara:

(Extraindo do gabarito oficial)

Passo 7

g Analisando os bicos das funções veremos onde não são deriváveis.

Temos bicos em g x : não é derivável em x = - 1 e x = 0 .

Não temos bicos em f x

Temos bicos em f g x : não é derivável em x = - 1

Resposta

a   f g x = 1 s e x < 0 1 - x 2 s e x ≥ 0

b   f g x ' = 0 s e x < 0 - 2 x s e x > 0 0                 s e         x = 0

E seu domínio corresponde a todo o conjunto R dos reais.

c   C = R - 0,1

d   f g x ' = 0 s e                                     x < 0 - 2 x s e                                     x > 0 ∄                 s e         x = 0   ; x = - 1

e   E x i s t ê n c i a   d a   d e r i v a d a   e m   x = - 1   e   x = 0

f   f i g u r a s   n o   P a s s o   6

( g )     T e m o s   b i c o s   e m   g ( x ) :   n ã o   é   d e r i v á v e l   e m   x = - 1   e   x = 0 .

N ã o   t e m o s   b i c o s   e m   f ( x )

T e m o s   b i c o s   e m   f ( g ( x ) ) :   n ã o   é   d e r i v á v e l   e m   x = - 1

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