Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

Continuidade

Seja

f x = arctg ⁡ 1 x cos ⁡ 3 x 2 - 1 x 2 ,     s e   x ≠ 0 0 ,                                                                                                             s e   x = 0

a ) A função f é derivável em x = 0 ? JUSTIFIQUE!

Passo 1

-

Seguinte, vê se você concorda: para ser derivável ali eu tenho que garantir que ela é contínua e aí então que ela tem condições de ser derivada.

Para ser contínua, devo garantir que os limites laterais em x = 0 sejam iguais a 0 , pois eu sei da função que f 0 = 0 . Ou seja, quero calcular isso aqui e ver se zera:

lim x → 0 ⁡ arctg ⁡ 1 x cos ⁡ 3 x 2 - 1 x 2

lim x → 0 ⁡ arctg ⁡ 1 x cos ⁡ 3 x 2 - 1 x 2 . cos ⁡ 3 x 2 + 1 cos ⁡ 3 x 2 + 1 = lim x → 0 ⁡ arctg ⁡ 1 x cos 2 ⁡ 3 x 2 - 1 x 2 ( cos ⁡ 3 x 2 + 1 )    

lim x → 0 ⁡ arctg ⁡ 1 x - sen 2 ⁡ 3 x 2 x 2 ( cos ⁡ 3 x 2 + 1 ) = lim x → 0 ⁡ arctg ⁡ 1 x 3 - sen 2 ⁡ 3 x 2 3 x 2 1 cos ⁡ 3 x 2 + 1

Bom, vamos calcular um limite de cada vez:

lim x → 0 ⁡ - sen 2 ⁡ 3 x 2 3 x 2 = lim x → 0 ⁡ - sen ⁡ 3 x 2 sen ⁡ 3 x 2 3 x 2 = lim u → 0 ⁡ - sen ⁡ u sen ⁡ u u

lim u → 0 ⁡ - sen ⁡ 0 1 = 0 1 = 0

lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ 3 x 2 + 1 = 1 cos ⁡ ( 0 ) + 1 = 1 1 + 1 = 1 2

Quanto ao arctg ⁡ 1 x , sabemos que ele está sempre entre ± π 2 . Logo, podemos garantir pelo Teorema do Confronto:

lim x → 0 ⁡ arctg ⁡ 1 x 3 - sen 2 ⁡ 3 x 2 3 x 2 1 cos ⁡ 3 x 2 + 1

= lim x → 0 ⁡ ± π 2 3 - sen 2 ⁡ 3 x 2 3 x 2 1 cos ⁡ 3 x 2 + 1

= ± π 2 3 0 1 2 = 0

Logo, se esse limite é zero e f 0 = 0 , a função é contínua. Para vermos, então, se a função é derivável, analisamos ela no ponto x = 0 , já que no resto do domínio manda uma função que é composta por outras deriváveis e é, portanto, derivável. Temos dois jeitos para ver se a função é derivável nesse ponto: podemos derivar a função e ver se esse termo tendendo a zero também zera, o que faria com que a derivada da função em volta de x = 0 fosse igual à da função nesse ponto (lembrando que onde f x = 0 temos f ' x = 0 ) ou aplicamos a definição de derivada nesse ponto e vemos se zera, pelo mesmo motivo da primeira opção ter que zerar. Como ele nos pede o cálculo da derivada por si só no item ( b ) , ele provavelmente está nos cobrando que façamos do segundo jeito, pela definição:

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ arctg ⁡ 1 x cos ⁡ 3 x 2 - 1 x 2 x

lim x → 0 ⁡ arctg ⁡ 1 x cos ⁡ 3 x 2 - 1 x 3

Faço a mesma conta com o cosseno que fiz da outra vez e separo como seno do mesmo jeito:

lim x → 0 ⁡ arctg ⁡ 1 x - sen 2 ⁡ 3 x 2 x 3 1 cos ⁡ 3 x 2 + 1

Todos os termos ali são iguais, menos o do denominador do seno. Se eu multiplicar por 9 x em cima e embaixo tiro ele por uma malandragem maneira:

lim x → 0 ⁡ arctg ⁡ 1 x 9 x - sen 2 ⁡ 3 x 2 9 x x 3 1 cos ⁡ 3 x 2 + 1

= lim x → 0 ⁡ arctg ⁡ 1 x ( - 9 x ) sen 2 ⁡ 3 x 2 9 x 4 1 cos ⁡ 3 x 2 + 1

Repara que 9 x 4 = 3 x 2 2 , olha isso:

lim x → 0 ⁡ arctg ⁡ 1 x - 9 x sen ⁡ 3 x 2 3 x 2 2 1 cos ⁡ 3 x 2 + 1

Agora eu tenho só um limite fundamental, dois que eu conheço e um que vai pelo Teorema do Confronto. Acabou:

lim x → 0 ⁡ arctg ⁡ 1 x - 9 x sen ⁡ 3 x 2 3 x 2 2 1 cos ⁡ 3 x 2 + 1

= lim x → 0 ⁡ ± π 2 - 9 x sen ⁡ 3 x 2 3 x 2 2 1 cos ⁡ 3 x 2 + 1

± π 2 0 1 2 1 2 = 0

Logo, f é derivável em x = 0 !

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