Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

Elaboração própria

Seja h x = x 2 - 5 x + 4 ,   x R .

a Esboce o gráfico de h ;

b Dê os pontos onde h é duas vezes diferencial e determine h ' x   e h ' '   x .

Passo 1

a Vamos desenhar o gráfico desse módulo de parábola. O processo deve ser desenhar a própria parábola, descobrindo suas raízes e depois “espelhando” toda a região abaixo do eixo x para cima.

Descobrindo as raízes da parábola, teremos:

x 2 - 5 x + 4 = x - 1 x - 4

x 1 = 1     ;     x 2 = 4

Como essa parábola tem concavidade para cima, a gente sabe que a parte negativa dela está entre suas raízes, 1 e 4 . Com isso, espelhando essa região teremos esse gráfico:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Onde essa função será diferenciável? Repara, o polinômio, quando está fora do módulo, é sempre derivável para quantas vezes quisermos. Quer dizer, se a função fosse só x 2 - 5 x + 4 nós saberíamos que ela é derivável sempre, para todos os reais, na derivada primeira, segunda, terceira, ... n -ésima derivada.

O problema do módulo é gerar dois “bicos” ali que complicam para a primeira derivada e, portanto, para a segunda derivada, terceira e por aí em diante.

Logo, quais são os únicos pontos em que h ' x e h ' ' x não estão definidos?

x = 1       ;       x = 4

Logo, h x é duas vezes diferenciável para todo real menos 1 e 4 : R - 1,4 .

Passo 3

Para derivar a função, onde ela pode ser derivável duas vezes, começamos abrindo h em forma de módulo:

h x = x 2 - 5 x + 4 = x 2 - 5 x + 4 ,     x < 1   ; x 4 - x 2 - 5 x + 4 ,     1 x < 4

Derivando esse cara, teremos:

x 2 - 5 x + 4 ' = 2 x - 5

- x 2 - 5 x + 4 ' = - 2 x + 5

Com isso

h ' x = 2 x - 5 ,     x < 1   ; x > 4 5 - 2 x ,     1 < x < 4 N ã o   e x i s t e ,         x = 1   ; x = 4

Passo 4

O mesmo para a segunda derivada.

2 x - 5 ' = 2

5 - 2 x ' = - 2

Juntando isso em forma de chave, teremos:

h ' ' x = 2 ,                                             x < 1   ; x > 4 - 2 ,                                     1 < x < 4 N ã o   e x i s t e ,         x = 1   ; x = 4

Resposta

a   f i g u r a   n o   P a s s o   1

b   R - 1,4

h ' x = 2 x - 5 ,     x < 1   ; x > 4 5 - 2 x ,     1 < x < 4 N ã o   e x i s t e ,         x = 1   ; x = 4

h ' ' x = 2 ,                                             x < 1   ; x > 4 - 2 ,                                     1 < x < 4 N ã o   e x i s t e ,         x = 1   ; x = 4

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