Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

UFF - Cálculo IA - P2 Sérgio Almaraz 2010.1 – 2 b

Considere

f x = 1 - 2 sen ⁡ x ,     x ∈ - ∞ ,   0 x - 1 2 ,                           x ∈ 0 ,   1 x 2 ln ⁡ x ,                             x ∈ 1 ,   ∞

Determine a derivada de f x

Passo 1

Observando a lei de definição de f percebemos que exceto nos pontos x = 0 e x = 1 , f é composta por funções deriváveis em seus domínios. A saber, sen ⁡ x , x 2 , ln ⁡ x (para x > 0 ). E sabemos que a subtração, multiplicação e composição de funções deriváveis é derivável.

Então, os únicos candidatos a ponto onde a função é não derivável são x = 0 e x = 1 . Portanto, temos que analisá-los.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar observando se são contínuas nesses pontos:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ 1 - 2 sen ⁡ x = 1 - 2 sen ⁡ 0 = 1

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ x - 1 2 = 0 - 1 2 = 1

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x - 1 2 = 1 - 1 2 = 0

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ x 2 ln ⁡ x = 1 2 ln ⁡ 1 = 0

Portanto, a função é contínua nos dois pontos.

Passo 3

Dado isso, podemos fazer as derivadas das funções e ver se elas convergem lateralmente

Derivamos cada pedaço da função:

1 - 2 sen ⁡ x ' = - 2 cos ⁡ x

x - 1 2 ' = 2 x - 1

x 2 ln ⁡ x ' = 2 x ln ⁡ x + x 2 1 x = 2 x ln ⁡ x + x

Em x = 0 temos:

f ' 0 - = - 2 cos ⁡ 0 = - 2

f ' 0 + = 2 0 - 1 = - 2

f ' 0 - = f ' 0 +

Derivável em x = 0 !

Em x = 1 temos:

f ' 1 - = 2 1 - 1 = 0

f ' 1 + = 2 1 ln ⁡ 1 + 1 = 1

f ' 1 - = f ' 1 +

Não será derivável em x = 1 !

Passo 4

Assim, juntando essas derivadas à definição da derivada no ponto x = 0 , teremos:

f ' x = - 2 cos ⁡ x ,     x ∈ - ∞ ,   0 - 2 , x = 0 2 x - 1 ,                           x ∈ 0 ,   1 2 x ln ⁡ x + x ,                             x ∈ 1 ,   ∞

Note que a derivada não está definida para x = 1 . Note ainda que se substituirmos x = 0 na expressão - 2 cos ⁡ x ou na expressão 2 x - 1 temos como resultados - 2 , que é o valor da derivada no ponto x = 0 .

Resposta

f ' x = - 2 cos ⁡ x ,     x ∈ - ∞ ,   0 - 2 , x = 0 2 x - 1 ,                           x ∈ 0 ,   1 2 x ln ⁡ x + x ,                             x ∈ 1 ,   ∞

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