Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

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Enunciado

Derive cada função (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função).

f x = x 3 sen ⁡ 1 x     ,       x ≠ 0   0                                     ,   x = 0

Passo 1

A derivada desse cara vai ser a derivada da função, feita pelos métodos de derivação convencionais, para x ≠ 0 , somada à análise de sua possível derivada em x = 0 .

Passo 2

Assim, começamos calculando essa derivada para valores fora de x ≠ 0 (com a Regra do Produto e da Cadeia):

x 3 sen ⁡ 1 x ' = x 3 ' sen ⁡ 1 x + x 3 sen ⁡ 1 x '

= 3 x 2 sen ⁡ 1 x + x 3 cos ⁡ 1 x 1 x '

= 3 x 2 sen ⁡ 1 x + x 3 cos ⁡ 1 x - 1 x 2

= 3 x 2 sen ⁡ 1 x - x cos ⁡ 1 x

Passo 3

Olhamos agora para x = 0 . Vamos ver se a função é contínua e derivável nesse ponto, fazendo as derivadas laterais pelo método 1 .

Começamos com a continuidade:

lim x → 0 ⁡ x 3 sen ⁡ 1 x = 0 3 sen ⁡ ± ∞

Indeterminação dentro do seno? Vamos usar o Teorema do Confronto!

- 1 ≤ sen ⁡ x ≤ 1

lim x → 0 ⁡ x 3 - 1 ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 sen ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 1

lim x → 0 ⁡ x 3 - 1 = lim x → 0 ⁡ x 3 1 = 0

Logo,

lim x → 0 ⁡ x 3 sen ⁡ 1 x = 0

Do enunciado temos que:

f 0 = 0

É contínua! Ótimo, falta provar só se podemos derivá-la

Passo 4

Vamos na derivação agora. Do passo 1 tínhamos:

x 3 sen ⁡ 1 x ' = 3 x 2 sen ⁡ 1 x - x cos ⁡ 1 x

Em x = 0 a função não está definida, pois 1 x dá ruim. Porém, podemos aplicar o teorema do confronto, vem comigo!

Para a primeira parcela, temos

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 - 1 ≤ lim x → 0 ⁡ 3 x 2 sen ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ 3 x 2 1

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 - 1 = lim x → 0 ⁡ 3 x 2 1 = 0     →     lim x → 0 ⁡ 3 x 2 sen ⁡ 1 x = 0

Já para a segunda parcela,

lim x → 0 ⁡ x - 1 ≤ lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ x 1

lim x → 0 ⁡ x - 1 = lim x → 0 ⁡ x 1 = 0     →     lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x = 0

Assim,

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 sen ⁡ 1 x - x cos ⁡ 1 x = 0

Então, a função será derivável em x = 0 ! Teremos f ' 0 = 0 nesse ponto.

Passo 5

Organizando tudo, teremos a derivada de f x dada por:

f ' x = 3 x 2 sen ⁡ 1 x - x cos ⁡ 1 x     ,       x ≠ 0   0                                     ,   x = 0

Resposta

f ' x = 3 x 2 sen ⁡ 1 x - x cos ⁡ 1 x     ,       x ≠ 0   0                                     ,   x = 0

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