Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

Seja f : R → R dada por:

f x = x 3 + x + 5 ,     x ≤ 1 a x + b ,     x > 1

Para que f seja derivável em 1 , a e b devem ser, respectivamente:

  1. 5 e 3
  2. 2 e 3
  3. 4 e qualquer b real
  4. 4 e 3
  5. Para nenhum valor de a e b

Passo 1

Para que uma função seja derivável em um ponto ela precisa ser contínua nesse ponto e suas derivadas laterais tem que ser iguais. Vamos começar verificando a continuidade dessa função em 1 .

f 1 = 1 3 + 1 + 5 = 7

lim x → 1 - ⁡ x 3 + x + 5 = 7

lim x → 1 + ⁡ a x + b = a + b

Portanto, como os limites laterais tem que ser iguais para a função ser contínua

a + b = 7

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos fazer as derivadas laterais.

Para x ≤ 1 :

f ' x = 3 x 2 + 1

Para x > 1 :

f ' x = a

Essas duas derivadas têm que ser iguais no ponto x = 1 para que a função seja diferenciável.

3 x 2 + 1 = a

Substituindo x por 1 :

3.1 2 + 1 = a

a = 4

Sabendo o valor de a podemos descobrir o valor de b fazendo:

a + b = 7

4 + b = 7

b = 3

Resposta

d. 4 e 3

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