Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

Associe V para verdadeiro e F para falso nos seguintes itens:

Considere

g x = a x + 1 + b x + 4 ,       x ≥ 0 x + 1 1 - x ,       x < 0

Onde a e b são constantes reais.

(I) Para a = 1 e b = - 2 , a função g x é contínua em x = 0 .

(II) Para quaisquer a , b ∈ R , com a + 2 b = 1 , g x é contínua em x = 0 .

(III) Para quaisquer a ,   b ∈ R , com 2 a + b = 8 , g x é diferenciável em x = 0 .

(IV) Somente quando a = 3 ,   b = - 2 , g x é diferenciável em x = 0 .

(V) Somente quando a = 5 ,   b = - 2 , g x é diferenciável em x = 0 .

Passo 1

Legal, vamos ver cada uma das afirmações e analisar se são verdadeiras ou falsas. Para I , vamos substituir os valores propostos:

g x = x + 1 - 2 x + 4 ,       x ≥ 0 x + 1 1 - x ,       x < 0

Vamos determinar a continuidade em x = 0 agora. Para que seja contínua, precisamos que:

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ f x = f 0

Assim, vamos calcular cada um para verificar essa igualdade:

f 0 = 0 + 1 - 2 0 + 4 = 1 - 2 ⋅ 2 = - 3

Como x + 1 - 2 x + 4 é a expressão para x ≥ 0 , substituímos essa expressão no limite pela direita, que nada mais é o limite para valores maiores que x = 0 .

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ x + 1 - 2 x + 4 = f 0 = - 3

Como x + 1 / ( 1 - x ) é a expressão para x < 0 , substituímos essa expressão no limite pela esquerda:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ x + 1 1 - x = 0 + 1 1 = 1

Substituindo os valores:

- 3 = 1 = - 3

Como a igualdade acima é falsa, concluímos que a função não é contínua e a afirmação I é falsa!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Novamente, para a afirmação I I , vamos considerar a continuidade, mas agora para o valor geral:

g x = a x + 1 + b x + 4 ,       x ≥ 0 x + 1 1 - x ,       x < 0

Para que seja contínua em x = 0 :

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ f x = f 0

Assim, vamos calcular:

f 0 = a 0 + 1 + b 0 + 4 = a + 2 b

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ a x + 1 + b x + 4 = f 0 = a + 2 b

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ x + 1 1 - x = 0 + 1 1 = 1

Assim, temos a igualdade:

a + 2 b = a + 2 b = 1

Se a + 2 b = 1 , como proposto na afirmativa I I , então:

1 = 1 = 1

A igualdade é verdadeira, e, portanto, a função é contínua em x = 0 . Logo, a afirmativa I I é correta!

Passo 3

Agora precisamos determinar se a função é diferenciável em x = 0 . Para que seja diferenciável, precisamos que a derivadas laterais sejam iguais:

f ' 0 + = f ' 0 -

Vamos calculá-las então:

f x + = a x + 1 + b x + 4 ' = a 2 x + 1 + b 2 x + 4

Assim:

f ' 0 + = a 2 0 + 1 + b 2 0 + 4 = a 2 + b 4

Da mesma forma:

f ' x - = x + 1 1 - x ' = 1 + 1 1 - x 2

Assim:

f ' 0 - = 1 + 1 = 2

Portanto, pela desigualdade:

a 2 + b 4 = 2

Segundo a afirmação I I I , se:

2 a + b = 8

Então, dividindo por 4 :

a 2 + b 4 = 2

Substituindo isso na igualdade das derivadas laterais:

2 = 2

Mas cuidado, a função só será diferenciável quando for contínua. E só será contínua quando a + 2 b = 1 . Dessa maneira temos o sistema:

2 a + b = 8 a + 2 b = 1

Ou seja, precisamos de a e b tal que 2 a + b = 8 e, além disso, a + 2 b = 1 . Logo, a afirmativa I I I é falsa!

Passo 4

Vamos agora para a afirmativa I V : Somente quando a = 3 ,   b = - 2 , g x é diferenciável em x = 0 .

Substituindo os valores propostos: a 2 + b 4 = 3 2 - 2 4 = 6 - 2 4 = 4 4 = 1

Substituindo na igualdade das derivadas laterais:

1 = 2

Como a igualdade não é verdadeira, I V não será também!

Passo 5

Finalmente, chegamos na afirmativa V : Somente quando a = 5 ,   b = - 2 , g x é diferenciável em x = 0 .

Substituindo os valores propostos:

a 2 + b 4 = 5 2 - 2 4 = 10 - 2 4 = 8 4 = 2

A igualdade fica:

2 = 2

Conforme vimos no passo 3, precisamos também que:

a + 2 b = 1

Substituindo:

5 - 4 = 1

Que é verdade. Logo, esses valores satisfazem ambas condições para a função ser diferenciável, mas precisamos garantir que é a única solução. Porém, como temos duas equações que não são múltiplas uma da outra e duas incógnitas a e b , só existirá UMA solução, e portanto, o “somente” é garantido e a afirmativa é verdadeira!

Resposta

Falso, Verdadeiro, Falso, Falso, Verdadeiro.

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