Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

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Enunciado

Use o gráfico da função para determinar os valores de x em que a função é diferenciável e indique os valores de x em que a derivada é (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.

f   x = | x |

Passo 1

Começamos abrindo essa função em cada uma das suas regiões:

f x = x ,     x ≥ 0 - x ,     x < 0

O gráfico de x , na região de x ≥ 0 fica mais ou menos assim:

Acontece que onde x < 0 o gráfico - x estará sendo aplicado por valores negativos. Com isso, multiplicando com o menos dentro da raiz, esse gráfico acabará sendo o mesmo do x , porém espelhado para o outro lado. O gráfico final vai ficar assim:

Passo 2

Assim, podemos analisar as derivadas.

A derivada não existe em x = 0 , pois lá a função tem um “bico”, gerado pelo módulo.

A derivada é negativa para x < 0 , pois nessa região a função é decrescente.

A derivada é positiva em x > 0 , pois nessa região a função é crescente.

A derivada não é nula em ponto nenhum, pois fora x = 0 a função não muda seu crescimento em nenhum outro ponto.

Resposta

i n u l a : e m   n e n h u m   p o n t o

i i p o s i t i v a : p a r a   x > 0

i i i n e g a t i v a : p a r a   x < 0

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