Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

Use o gráfico da função para determinar os valores de x em que a função é diferenciável e indique os valores de x em que a derivada é (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.

f   x = | x 2 - 9 |

Passo 1

O gráfico de x 2 - 9 é uma parábola com concavidade para cima e raizes em x = 3 e x = - 3 . No intervalo - 3 ≤ x ≤ 3 a função é negativa. Para obtermos o gráfico de | x 2 - 9 | , a parte negativa da parábola deve ser rebatida em torno do eixo x . O esboço do gráfico fica assim:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Podemos analisar as derivadas.

A derivada não existe em x = - 3 e x = 3 , pois nesses pontos a função tem “bicos”. Portanto, a função é diferenciável em

R - { - 3 ,   3 }

Passo 3

A derivada é negativa no intervalo - ∞ ,   - 3 ∪ ( 0,3 ) , pois nessa região a função é decrescente.

A derivada é positiva em ( - 3 ,   0 ) ∪ 3 ,     ∞ , pois nessa região a função é crescente.

A derivada é nula em x = 0 , pois nesse ponto a reta tangente é horizontal.

Resposta

d i f e r e n c i á v e l   e m   R - { - 3 ,   3 }

i n u l a : x = 0

i i p o s i t i v a : ( - 3 ,   0 ) ∪ 3 ,   ∞

i i i n e g a t i v a : - ∞ ,   - 3 ∪ ( 0,3 )

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas