Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

Derivadas de Ordem Superior

Seja h x = x 2 - 4 ,   x ∈ R .

  1. Dê os pontos onde h é duas vezes diferencial e determine h ' x   e h ' '   x ;
  2. Esboce o gráfico de h .

Passo 1

a )  

Primeiramente, vamos abrir a função x 2 - 4 como módulo, ou seja, dizer que ela vale ela mesma quando for maior que zero e que vale seu oposto quando for menor que zero.

f x = x 2 - 4 = x 2 - 4 ,     x < - 2   ; x ≥ 2 - x 2 - 4 ,     - 2 ≤ x < 2

Vamos calcular as derivadas dessa função nos dois domínios (em x < - 2   ; x ≥ 2 e em - 2 ≤ x < 2 ), nos pontos de mudança na lei de formação devemos usar a definição de derivada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando então pelos por esses pontos problemáticos x = - 2 e x = 2 , vamos calcular os limites laterais:

lim x → - 2 - ⁡ f x - f - 2 x - - 2 = - 4     ;     lim x → - 2 + ⁡ f x - f - 2 x - - 2 = 4

lim x → 2 - ⁡ f x - f 2 x - 2 = - 4     ;     lim x → 2 + ⁡ f x - f 2 x - 2 = 4

Opa, esses limites laterais não batem.

Isso significa que o gráfico da nossa função forma um “bico” nesses pontos e, assim, a derivada não existe.

Dessa forma, nossa função é duas vezes diferenciável sempre que x ≠ - 2 e x ≠ 2 .

Passo 3

Agora, para derivar essa função, como só teremos derivadas fora de x = - 2 e x = 2 , é só a gente derivar normalmente a função chaveada:

f ' x = x 2 - 4 ' = x 2 - 4 ' ,     x < - 2   ; x ≥ 2 - x 2 - 4 ' ,     - 2 ≤ x < x

f ' x = 2 x ,     x < - 2   ; x ≥ 2 - 2 x ,     - 2 ≤ x < x

Passo 4

Para fazer a derivada segunda, seguimos a mesma ideia.

f ' ' x = 2 x ' ,     x < - 2   ; x ≥ 2 - 2 x ' ,     - 2 ≤ x < x

f ' ' x = 2 ,     x < - 2   ; x ≥ 2 - 2 ,     - 2 ≤ x < x

Passo 5

b )  

Agora vamos desenhar o gráfico da nossa função modular.

Para isso, vamos primeiro imaginar como seria o gráfico dessa função caso ela não fosse modular, isto é, caso tivéssemos

f x = x 2 - 4

Isso é uma parábola:

Beleza, agora vamos pensar: o que que o módulo faz com uma função? Qual a ideia do módulo?

O módulo pega os valores negativos de uma função e transforma eles em valores positivos.

Assim, toda essa parte da parábola que está abaixo do eixo y (negativa), deve ser “espelhada” para cima.

Fica assim:

Resposta

  1. h é duas vezes diferenciável para x ∈ R ; x ≠ - 2 e x ≠ 2 ;
  2. h ' x = 2 x ⋅ x 2 - 4 x 2 - 4

    h ' ' x = 2 ⋅ x 2 - 4 x 2 - 4

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