Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

UFF, Cálculo IA-Lista 6, GMA, 2008-1, Questão 16

Derive a função.

f x = x 3 sen ⁡ 1 x   ,     x ≠ 0 0   ,                                   x = 0

Passo 1

Vamos começar pela derivada quando x ≠ 0 :

f x = x 3 sen ⁡ 1 x

Começaremos usando a regra do produto:

f ' x = ( x 3 ) ' sen ⁡ 1 x + x 3 sen' ⁡ 1 x

f ' x = 3 x ² sen ⁡ 1 x + x 3 sen' ⁡ 1 x

Para derivar sen ⁡ 1 x teremos que usar a regra da cadeia, derivando primeiro a função mais externa e depois a função interna.

f ' ( x ) = 3 x 2 sen ⁡ 1 x + x 3 cos ⁡ 1 x . 1 x '

f ' ( x ) = 3 x 2 sen ⁡ 1 x + x 3 cos ⁡ 1 x . x - 1 '

f ' ( x ) = 3 x 2 sen ⁡ 1 x + x 3 cos ⁡ 1 x - 1 x - 2

f ' x = 3 x 2 sen ⁡ 1 x - x 3 x 2 cos ⁡ 1 x

f ' x = 3 x 2 sen ⁡ 1 x - x cos ⁡ 1 x

f ' x = x 3 x sen ⁡ 1 x - cos ⁡ 1 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora quando x = 0

f x = 0

f ' 0 = 0

Resposta

x 3 x sen ⁡ 1 x - cos ⁡ 1 x

0

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