Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

Elaboração própria.

Derive a função abaixo:

f x = e x 2 s e n x                       x 0 0                                                       x = 0      

Passo 1

Bom, como a função tem expressões diferentes para x = 0 e x 0 , precisamos analisar separadamente a sua derivada para cada um desses valores.

Começando com x 0 . Para esses pontos, temos:

f x = e x 2 s e n x

Vamos aplicar então, as regras de derivação nisso aí.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicando a regra do produto:

f ' x = d ( e x 2 ) d x s e n x + e x 2 d ( s e n ( x ) ) d x

f ' x = d ( e x 2 ) d x s e n x + e x 2 cos ( x )

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia em e x 2 :

f ' x = d ( x 2 ) d x e x 2 s e n x + e x 2 cos ( x )

f ' x = 2 x   e x 2 s e n x + e x 2 cos ( x )

Para x 0 .

Passo 4

Temos que calcular as derivadas laterais em x = 0 para ver se elas são iguais e diferentes de 0 aí nesse ponto. Vou pelo método 1 . Começamos verificando se ela é contínua no ponto:

lim x 0 f ( x ) = f 0

Temos

lim x 0 f ( x ) = e 0 2 s e n 0 = 0

f 0 = 0

Logo, sim, a função é contínua!

Falta ver se é derivável.

Passo 5

Derivando, teremos a mesma função dos dois lados, que já achamos no Passo 3 :

f ' x - = f ' x + = 2 x   e x 2 s e n x + e x 2 cos ( x )

Substituindo x = 0 , temos:

f ' 0 - = f ' 0 + = 2 0   e 0 s e n 0 + e 0 cos 0

= 0 + 1 = 1

Isso nos dá que:

f ' x = 2 x   e x 2 s e n x + e x 2 cos ( x )                       x 0 1                                                     x = 0      

Resposta

f ' x = 2 x   e x 2 s e n x + e x 2 cos ( x )                       x 0 1                                                     x = 0      

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