Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de Cálculo Vol. 1, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, Pg 162 exercício 1f

Determine f ' , f ' ' e f ' ' ' , onde

f x = x 2 + 3 x s e x 1 5 x - 1 s e x < 1

Passo 1

Temos uma função definida em intervalos diferentes, isso é importante para fazer as derivadas. Para derivá-la, precisamos ver onde ela será derivável.

Em se tratando de polinômios, eles são deriváveis em todo o seu domínio. Com isso, o problema vai morar sempre em x = 1 . Temos que observar se aí ele será derivável ou não, e podemos fazer isso analisando as derivadas laterais pelo método apresentado na teoria de Derivadas Laterais.

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Passo 2

Vamos começar fazendo a continuidade:

lim x 1 - f x = lim x 1 - 5 x - 1 = 5 - 1 = 4

lim x 1 - f x = lim x 1 - x 2 + 3 x = 1 + 3 = 4

Contínua!

A boa é derivar a função agora e ver se as derivadas laterais batem:

f ' x = x 2 + 3 x ' s e x > 1 5 x - 1 ' s e x < 1 = 2 x + 3 s e x > 1 5 s e x < 1

Aplicando x = 1 às derivadas laterais, ficamos com:

f ' 1 - = 2 1 + 3 = 5

f ' 1 + = 5

É, a derivada aí converge para 5 .

A nossa derivada vai ser

f ' x = 2 x + 3 x > 1 5 x = 1 5 x < 1

Passo 3

Já vimos que a derivada primeiro converge para um valor. Se queremos derivar a função

f ' x = 2 x + 3 x > 1 5 x = 1 5 x < 1

Pelo mesmo método do Passo 2 precisamos que a função a ser derivada, f ' x seja contínua em 1 para depois derivá-la lateralmente. Já vimos que a derivada primeiro converge para um valor, f ' 1 + = f ' 1 - = 5 . Com isso, já podemos derivá-la e analisa-la lateralmente

f ' ' x = 2 x > 1 0 x < 1

Não sei ainda se existe derivada em x = 1 , por isso não o coloquei ali

Aplicando x = 1 às derivadas laterais, ficamos com:

f ' ' 1 - = 2

f ' ' 1 + = 0

Não dão o mesmo resultado, então f ' x não será derivável em x = 1

Vamos ter como resultado final

f ' ' x = 2 x > 1 N ã o   e x i s t e   f ' ' x = 1 0 x < 1

Passo 4

Agora vamos para a terceira derivada, lembra que a terceira derivada é derivar f ' ' x ? Então tudo isso que pensamos antes vai valer do mesmo jeito, nos dois intervalos que ele definiu fazemos a derivada normalmente.

Só que dessa vez não vamos fazer a terceira derivada em x = 1 , isso porque sempre que uma derivada não existe, ela não vai existir para nenhuma ordem depois dela.

Não entendeu? Não existe segunda derivada para x = 1 , isso vai nos dizer que não existe terceira derivada nesse ponto, nem quarta derivada, nem quinta, nem sexta, nem sétima e por aí vai. Entendeu? Não temos um valor para usar na definição, então ele também não existe.

Vamos ter derivando, portanto:

f ' ' ' x = 0 x > 1 N ã o   e x i s t e   f ' ' ' x = 1 0 x < 1

Resposta

f ' x = 2 x + 3 x > 1 5 x = 1 5 x < 1

f ' ' x = 2 x > 1 N ã o   e x i s t e   f ' ' x = 1 0 x < 1

f ' ' ' x = 0 x > 1 N ã o   e x i s t e   f ' ' ' x = 1 0 x < 1

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