Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

USP - Cálculo 1 - P1 2011 – 2 b

Seja f a função definida por

f x = x 3 - 8 3 ,                                                                                                 s e   x 0 x 3 sen arctg 5 x + 2 x ,                                       s e   x < 0

( a ) Determine os pontos em que f é derivável. Justifique.

( b ) Calcule f ' ( x ) nos pontos em que f é derivável.

Passo 1

a Usamos a continuidade lateralmente para observar suas derivadas laterais, calculadas pelo método 1 apresentado na Teoria de derivadas laterais.

Trabalhamos, nas duas regiões de x , com funções contínuas. Pode procurar, não há indeterminações ou pontos em que as funções explodam para ± nos seus domínios.

Pra variar, o nosso problema para ver a continuidade está simplesmente no ponto onde troca o domínio: x = 0 . Vamos observar a continuidade nele.

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Passo 2

Fazemos seus limites laterais:

lim x 0 + x 3 - 8 3 = 0 - 8 3 = - 8 3

= - 2

= lim x 0 - x 3 sen arctg 5 x + 2 x = 0 3 sen 0 + 2 0

= 0 sen ±

Usando o Teorema do Confronto:

- 1 sen arctg 5 x + 2 x 1

- lim x 0 - x 3 lim x 0 - x 3 sen arctg 5 x + 2 x lim x 0 - x 3

- lim x 0 - x 3 = lim x 0 - x 3 = 0

Assim,

lim x 0 - x 3 sen arctg 5 x + 2 x = 0

Como os limites laterais não batem, ela não é contínua nem derivável em x = 0 .

Passo 3

Agora precisamos derivar a função para observar sua continuidade no resto do domínio:

A primeira, para x 0 , é mais tranquila:

x 3 - 8 3 ' = x 3 - 8 ' 3 x 3 - 8 3 2

= 3 x 2 3 x 3 - 8 3 2

= x 2 x 3 - 8 2 3

Essa derivada vale para x 0 com x 2 . Sim, esse é um ponto em que a derivada da função não será contínua em algum ponto. Nesse caso, vemos que a derivada não existirá em 2 , pois esse valor gera f ' x ( ± ) , já que zeraria o denominador ali.

Passo 4

Para o domínio x < 0 a derivada vai dar mais trabalho, vamos ter que usar a regra do Produto, do quociente e da cadeia, todas juntas:

x 3 sen arctg 5 x + 2 x '

= x 3 ' sen arctg 5 x + 2 x + x 3 sen arctg 5 x + 2 x '

= 3 x 2 sen arctg 5 x + 2 x + x 3 cos arctg 5 x + 2 x arctg 5 x + 2 x '

= 3 x 2 sen arctg 5 x + 2 x + x 3 cos arctg 5 x + 2 x arctg 5 x + 2 ' x - arctg 5 x + 2 x ' x 2

= 3 x 2 sen arctg 5 x + 2 x + cos arctg 5 x + 2 x x 3 5 x ' 1 + 25 x 2 x - arctg 5 x - 2 x 2

= 3 x 2 sen arctg 5 x + 2 x + cos arctg 5 x + 2 x 5 x 2 1 + 25 x 2 - x arctg 5 x - 2 x

É, esse monstro enorme é nossa derivada...

E então, por incrível que pareça, nenhum valor de x < 0 vai zerar denominador nessa derivada ou gerar qualquer tipo de indeterminação, de onde a gente conclui que ela não gera problemas para a derivada.

Passo 5

b Agora temos que achar as derivadas.

Mas repara, acabamos de calcular elas! Para x < 0 :

3 x 2 sen arctg 5 x + 2 x + cos arctg 5 x + 2 x 5 x 2 1 + 25 x 2 - x arctg 5 x - 2 x

Para x > 0 e diferente de 2 :

x 2 x 3 - 8 2 3

Sendo que em x = 0 e em x = 2 ela não existe.

Resposta

a   f   é   d e r i v á v e l   e m   R - 0 ; 2

b   3 x 2 sen arctg 5 x + 2 x + cos arctg 5 x + 2 x 5 x 2 1 + 25 x 2 + x arctg 5 x + 2 x ,

p a r a   x < 0

x 2 x 3 - 8 2 3 ,       p a r a   x > 0   e   x 2

E m   x = 0   e   e m   x = 2   a   d e r i v a d a   n ã o   e x i s t e

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