Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

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Enunciado

Seja f x = sen ⁡ x x - 3 3 x ,           s e   x ≠ 0 1 ,                                             s e   x = 0  

Seja g x = sen ⁡ x - 3 2 3 . A função h x = f x g ( x ) é derivável em x = 3 ? Por que?

Passo 1

Analisando as derivadas laterais pelo método 2 , usamos a definição:

lim x → 3 ⁡ h x - h 3 x - 3

lim x → 3 ⁡ sen ⁡ x x - 3 3 x sen ⁡ x - 3 2 3 - f 3 g 3   x - 3

= lim x → 3 ⁡ sen ⁡ x x - 3 sen ⁡ x - 3 2 3 x - 0   x - 3

= lim x → 3 ⁡ sen ⁡ x x - 3 sen ⁡ x - 3 2 3   x ( x - 3 )

Passo 2

Pelas propriedades dos limites, separamos esse cara em dois.

= lim x → 3 ⁡ sen ⁡ x   x lim x → 3 ⁡ x - 3 sen ⁡ x - 3 2 x - 3 3 3

= sen ⁡ 3 3 lim x → 3 ⁡ sen ⁡ x - 3 2 x - 3 2 3

Passo 3

Esse limite que sobrou pode sair pelo Limite Fundamental Trigonométrico:

lim x → 3 ⁡ sen ⁡ x - 3 2 x - 3 2 3

u = x - 3

x → 3   ,     u → 0

lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u 2 3 = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u 2 3

= 1 2 3

= 1

Passo 4

Assim,

lim x → 3 ⁡ h x - h 3 x - 3

= sen ⁡ 3 3 lim x → 3 ⁡ sen ⁡ x - 3 2 x - 3 2 3

= sen ⁡ 3 3 1

= sen ⁡ 3 3 = h ' 3

Chegamos a uma constante! Assim garantimos que h ( x ) é derivável em x = 3 .

Resposta

h ' 3 = sen ⁡ 3 3

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