Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

USP - Cálculo 1 - P1 2012 - 2 c

Seja f x = sen x x - 3 3 x ,           s e   x 0 1 ,                                             s e   x = 0  

Seja g x = sen x - 3 2 3 . A função h x = f x g ( x ) é derivável em x = 3 ? Por que?

Passo 1

Analisando as derivadas laterais pelo método 2 , usamos a definição:

lim x 3 h x - h 3 x - 3

lim x 3 sen x x - 3 3 x sen x - 3 2 3 - f 3 g 3   x - 3

= lim x 3 sen x x - 3 sen x - 3 2 3 x - 0   x - 3

= lim x 3 sen x x - 3 sen x - 3 2 3   x ( x - 3 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pelas propriedades dos limites, separamos esse cara em dois.

= lim x 3 sen x   x lim x 3 x - 3 sen x - 3 2 x - 3 3 3

= sen 3 3 lim x 3 sen x - 3 2 x - 3 2 3

Passo 3

Esse limite que sobrou pode sair pelo Limite Fundamental Trigonométrico:

lim x 3 sen x - 3 2 x - 3 2 3

u = x - 3

x 3   ,     u 0

lim u 0 sen u u 2 3 = lim u 0 sen u u 2 3

= 1 2 3

= 1

Passo 4

Assim,

lim x 3 h x - h 3 x - 3

= sen 3 3 lim x 3 sen x - 3 2 x - 3 2 3

= sen 3 3 1

= sen 3 3 = h ' 3

Chegamos a uma constante! Assim garantimos que h ( x ) é derivável em x = 3 .

Resposta

h ' 3 = sen 3 3

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